Signo de una permutación

Definición

Para cada permutación σ dentro del grupo de permutaciones S_n, el signo de σ, notado usualmente como ε(σ), se define por:

$\varepsilon(\sigma)=(-1)^{\nu(\sigma)}= \det~\varphi(\sigma); ~~ \forall \sigma \in S_n,$

siendo ν(σ) el número de trasposiciones de una descomposición cualquiera de σ en producto de trasposiciones. De otro lado, la aplicación $\varphi: S_n \rightarrow \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ la aplicación que a cada permutación asocia la matriz σ(Id) que se obtiene permutando las filas de de la matriz identidad según indica σ.

Nota

• La aplicación $\varepsilon: S_n\rightarrow \{-1,1\}$ es un homomorfismo de grupos entre $(S_n,*) \textrm{~y~} (\{-1,1\},\cdot)$, siendo * la operación de composición usual y $\cdot$ el producto convencional.