Anexo:Derivadas

Anexo:Derivadas

La operación fundamental en el cálculo diferencial es encontrar una derivada. Esta tabla enlista las derivadas de varias funciones. En lo sucesivo, f y g son funciones de x y c es una constante con respecto a x. Se presupone al conjunto de los números reales. Estas fórmulas son suficientes para diferenciar cualquier función elemental.

Contenido

Reglas generales de diferenciación

Artículo principal: Reglas de diferenciación
Linealidad
\left({f + g}\right)' = f' + g'
\left({f - g}\right)' = f' - g'
\left({cf}\right)' = cf'
Regla del producto
\left({fg}\right)' = f'.g + f.g'
Derivada de la función inversa
\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}
Regla del cociente
\left({f \over g}\right)' = {f'.g - f.g' \over g^2}, \qquad g \ne 0
Regla de la cadena
(f \circ g)' = g'(f )f'

Derivadas de funciones simples

{d \over dx} c = 0
{d \over dx} x = 1
{d \over dx} (cx) = c
{d \over dx} x^c = cx^{c-1} \qquad \mbox{donde } x^c \mbox{ y } cx^{c-1} \mbox { se encuentran definidos}
{d \over dx} (cx^n) = cnx^{n-1}
{d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0
{d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}
{d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -cx^{-c-1} = -{c \over x^{c+1}}
{d \over dx}(\sqrt[n]{x}) = { 1 \over n \sqrt[n]{x^{n-1}} }\, \mbox{sea }x > 0
{d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0
{d \over dx} f(x)^n\ = nf(x)^{n-1} \cdot {d \over dx}f(x)
Derivada de la función inversa
(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}},

para alguna función diferenciable f de un argumento real y con valores reales, cuando las composiciones indicadas e inversas existen.

Derivadas de funciones exponenciales y funciones logarítmicas

Artículo principal: Derivadas de funciones exponenciales y funciones logarítmicas
{d \over dx} c^x = {c^x \ln c },\qquad c > 0
{d \over dx} e^x = e^x {d \over dx}(x)
{d \over dx} \log_c x = {1 \over x \ln c} \qquad, c > 0, c \ne 1
{d \over dx} \ln x = {1 \over x} \qquad, x > 0
{d \over dx} \ln |x| = {1 \over x}
{d \over dx} x^x = x^x(1+\ln x)
(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)
Derivada de la función potencial exponencial
{d \over dx} f(x)^{g(x)} = f(x)^{g(x)}\left({d \over dx}f(x) \cdot {g(x) \over f(x)} + {d \over dx}g(x) \cdot \ln f(x)\right),\qquad f(x) > 0

Derivadas de funciones trigonométricas

Derivadas de funciones hiperbólicas

{d \over dx}\,\operatorname{senh}\,x = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}
{d \over dx} \cosh x = \operatorname{senh}\,x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}
{d \over dx} \tanh x = \operatorname{sech}^2\,x
{d \over dx}\,\operatorname{sech}\,x = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x
{d \over dx}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x
{d \over dx}\,\operatorname{coth}\,x = -\,\operatorname{csch}^2\,x
{d \over dx}\,\operatorname{argsenh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
{d \over dx}\,\operatorname{argcosh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}
{d \over dx}\,\operatorname{argtanh}\,x = { 1 \over 1 - x^2}
{d \over dx}\,\operatorname{argsech}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx}\,\operatorname{argcsch}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}
{d \over dx}\,\operatorname{argcoth}\,x = -{ 1 \over x^2 - 1}

Derivadas de funciones especiales

Función zeta de Riemann

\zeta(x) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x} =
-\frac{\ln 2}{2^x} - \frac{\ln 3}{3^x} - \frac{\ln 4}{4^x} - \cdots
\!

(\zeta(x))' = -\sum_{p\ \text{primo}} \frac{p^{-x} \ln p}{(1-p^{-x})^2}\prod_{q\ \text{primo},\ q \neq p} \frac{1}{1-q^{-x}} \!

Derivadas de distribuciones

H'(x-a) = \delta(x-a)\, (Función unitaria de Heaviside y Delta de Dirac)

Funciones elípticas

Las derivadas de la funciones elípticas de Jacobi son:

\begin{cases}
\cfrac{d}{dx}\text{sn}\ x = \text{cn}\ x\ \text{dn}\ x \\
\cfrac{d}{dx}\text{dn}\ x = -k^2\text{sn}\ x\ \text{cn}\ x \\
\cfrac{d}{dx}\text{cn}\ x = -\text{sn}\ x\ \text{dn}\ x \\
\cfrac{d}{dx}\text{sc}\ x = \text{dc}\ x\ \text{nc}\ x \end{cases}

Derivadas de funciones definidas como integral

La fórmula de Leibniz para diferenciación de integrales establece que:[3]

\frac{d}{dx} \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,s)\ ds = 
\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \frac{\part f(x,s)}{\part x}\ ds +
f(x,g_2(x))\frac{dg_2}{dx} - f(x,g_1(x))\frac{dg_1}{dx}

Referencia

Bibliografía

  • Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Wikimedia foundation. 2010.

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