Anexo:Derivadas

La operación fundamental en el cálculo diferencial es encontrar una derivada. Esta tabla enlista las derivadas de varias funciones. En lo sucesivo, f y g son funciones de x y c es una constante con respecto a x. Se presupone al conjunto de los números reales. Estas fórmulas son suficientes para diferenciar cualquier función elemental.

Reglas generales de diferenciación

Artículo principal: Reglas de diferenciación

Linealidad

$\left({f + g}\right)' = f' + g'$

$\left({f - g}\right)' = f' - g'$

$\left({cf}\right)' = cf'$

Regla del producto

$\left({fg}\right)' = f'.g + f.g'$

Derivada de la función inversa

$\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}$

Regla del cociente

$\left({f \over g}\right)' = {f'.g - f.g' \over g^2}, \qquad g \ne 0$

Regla de la cadena

$(f \circ g)' = g'(f )f'$

Derivadas de funciones simples

${d \over dx} c = 0$

${d \over dx} x = 1$

${d \over dx} (cx) = c$

${d \over dx} x^c = cx^{c-1} \qquad \mbox{donde } x^c \mbox{ y } cx^{c-1} \mbox { se encuentran definidos}$

${d \over dx} (cx^n) = cnx^{n-1}$

${d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0$

${d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}$

${d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -cx^{-c-1} = -{c \over x^{c+1}}$

${d \over dx}(\sqrt[n]{x}) = { 1 \over n \sqrt[n]{x^{n-1}} }\, \mbox{sea }x > 0$

${d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0$

${d \over dx} f(x)^n\ = nf(x)^{n-1} \cdot {d \over dx}f(x)$

Derivada de la función inversa

$(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}$,

para alguna función diferenciable f de un argumento real y con valores reales, cuando las composiciones indicadas e inversas existen.

Derivadas de funciones exponenciales y funciones logarítmicas

Artículo principal: Derivadas de funciones exponenciales y funciones logarítmicas

${d \over dx} c^x = {c^x \ln c },\qquad c > 0$

${d \over dx} e^x = e^x {d \over dx}(x)$

${d \over dx} \log_c x = {1 \over x \ln c} \qquad, c > 0, c \ne 1$

${d \over dx} \ln x = {1 \over x} \qquad, x > 0$

${d \over dx} \ln |x| = {1 \over x}$

${d \over dx} x^x = x^x(1+\ln x)$

$(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)$

Derivada de la función potencial exponencial

${d \over dx} f(x)^{g(x)} = f(x)^{g(x)}\left({d \over dx}f(x) \cdot {g(x) \over f(x)} + {d \over dx}g(x) \cdot \ln f(x)\right),\qquad f(x) > 0$

Derivadas de funciones trigonométricas

Artículo principal: Derivación de funciones trigonométricas

${d \over dx}\,\operatorname{sen}\,x = \cos x$[1] ${d \over dx} \cos x = -\operatorname{sen}\,x$[2] ${d \over dx} \tan x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1+ \tan^2x$ ${d \over dx} \sec x = \sec x \tan x$ ${d \over dx} \csc x = -\csc x \cot x$ ${d \over dx} \cot x = -\csc^2 x = { -1 \over \operatorname{sen}^2\,x}$

${d \over dx}\,\operatorname{arcsen}\,x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}$ ${d \over dx} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}$ ${d \over dx} \arctan x = { 1 \over 1 + x^2}$ ${d \over dx} \arcsec x = { 1 \over x\sqrt{x^2 - 1}}$ ${d \over dx} \arccsc x = {-1 \over x\sqrt{x^2 - 1}}$ ${d \over dx} \arccot x = {-1 \over 1 + x^2}$

Derivadas de funciones hiperbólicas

${d \over dx}\,\operatorname{senh}\,x = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ ${d \over dx} \cosh x = \operatorname{senh}\,x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ ${d \over dx} \tanh x = \operatorname{sech}^2\,x$ ${d \over dx}\,\operatorname{sech}\,x = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x$ ${d \over dx}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x$ ${d \over dx}\,\operatorname{coth}\,x = -\,\operatorname{csch}^2\,x$

${d \over dx}\,\operatorname{argsenh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$ ${d \over dx}\,\operatorname{argcosh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}$ ${d \over dx}\,\operatorname{argtanh}\,x = { 1 \over 1 - x^2}$ ${d \over dx}\,\operatorname{argsech}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 - x^2}}$ ${d \over dx}\,\operatorname{argcsch}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}$ ${d \over dx}\,\operatorname{argcoth}\,x = -{ 1 \over x^2 - 1}$

Derivadas de funciones especiales

Función zeta de Riemann

$\zeta(x) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x} = -\frac{\ln 2}{2^x} - \frac{\ln 3}{3^x} - \frac{\ln 4}{4^x} - \cdots \!$

$(\zeta(x))' = -\sum_{p\ \text{primo}} \frac{p^{-x} \ln p}{(1-p^{-x})^2}\prod_{q\ \text{primo},\ q \neq p} \frac{1}{1-q^{-x}} \!$

Derivadas de distribuciones

$H'(x-a) = \delta(x-a)\,$ (Función unitaria de Heaviside y Delta de Dirac)

Funciones elípticas

Las derivadas de la funciones elípticas de Jacobi son:

$\begin{cases} \cfrac{d}{dx}\text{sn}\ x = \text{cn}\ x\ \text{dn}\ x \\ \cfrac{d}{dx}\text{dn}\ x = -k^2\text{sn}\ x\ \text{cn}\ x \\ \cfrac{d}{dx}\text{cn}\ x = -\text{sn}\ x\ \text{dn}\ x \\ \cfrac{d}{dx}\text{sc}\ x = \text{dc}\ x\ \text{nc}\ x \end{cases}$

Derivadas de funciones definidas como integral

La fórmula de Leibniz para diferenciación de integrales establece que:^[3]

$\frac{d}{dx} \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,s)\ ds = \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \frac{\part f(x,s)}{\part x}\ ds + f(x,g_2(x))\frac{dg_2}{dx} - f(x,g_1(x))\frac{dg_1}{dx}$

Referencia

1. ↑ Demostración de la derivada del seno en wikimatematica
2. ↑ Demostración de la derivada del coseno en wikimatematica
3. ↑ Leibniz Integral rule

Bibliografía

• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.