Tangente (geometría)

Este artículo trata sobre el concepto en geometría. Para otros usos de este término, véase tangente (trigonometría).

en verde: línea tangente
en azul: línea secante
en rojo: cuerda

Tangente proviene del latín «tangens»=que toca.^[1] La tangente a una curva en uno de sus puntos, es una recta que «toca» a la curva en el punto dado, el punto de tangencia (se puede decir que «forman un ángulo nulo» en la vecindad de dicho punto). Esta noción se puede generalizar, desde la recta tangente a un círculo o una curva, a «figuras tangentes» en dos dimensiones (es decir, figuras geométricas con un único punto de contacto), hasta los espacios tangentes, en donde se desarrolla el concepto de «tangencia» en más dimensiones.

Geometría en el plano

Recta tangente a una curva

Un segmento de recta que tiene un solo punto de contacto con una curva dada, se dice que es la recta tangente a la curva en dicho punto. Si tiene dos puntos de contacto, se llama recta secante.

Partiendo del plano geométrico, podemos considerar los siguientes casos de tangencia:

Construcción Geométrica

Intuitivamente, la tangente T_A es la posición límite de la recta o el límite de las rectas secantes a la curva C, que pasan por los puntos A y M_i cuando se aproximan indefinidamente por M₁, M₂, M₃, M₄ ...

Construcción analítica

Artículo principal: Derivada

Analíticamente, si C representa la gráfica de una función f(x), entonces la recta (AM) tendrá como coeficiente director (o pendiente)

$\frac {f(x) - f(a)} {x - a}$, donde a es la abscisa de A y x la de M.

Por lo tanto, la pendiente de la tangente T_A será:

$\lim_{x \to a} \frac {f(x) - f(a)} {x - a}$

Es, por definición: f '(a), el número derivado de f en a.

La ecuación de la tangente es T_a: y = f '(a)·(x - a) + f(a)

La recta ortogonal a la tangente T_A que pasa por el punto (a, f(a)) se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas cartesianas, viene dada por $\frac {-1} {f'(a)}$.

Su ecuación es : y = - (x - a)/f '(a) + f(a), siempre que f'(a) ≠ 0. Esta recta no interviene en el estudio general de las funciones pero sí en problemas geométricos relacionados con las secciones cónicas, como por ejemplo: para determinar el foco de una parábola.

Circunferencias tangentes

Dada una circunferencia de centro $C_i \;$ y radio $r_i \;$, es tangente en un punto $P \;$ a otra circunferencia de centro $C_j \;$ y radio $r_j \;$ si el los dos centros de las circunferencias y el punto de tangencia están sobre la misma recta, y el punto $P \;$ de tangencia es la intersección de las dos circunferencias.

Así partiendo de una circunferencia y un punto P, de la misma, trazando una recta que pase por el centro de la circunferencia y el punto P, cualquier circunferencia con centro en esta recta, que pase por P, será tangente a la circunferencia dada en ese punto.

Circunferencia tangente a una recta

Dada una recta r y un punto P de la misma, trazando la perpendicular a la recta r por P, cualquier circunferencia con centro en esta perpendicular que pase por P es tangente a r en el punto P.

Por el razonamiento inverso podemos trazar la recta tangente a una circunferencia en un punto P dado. Su ecuación se llama ecuación de la desdoblada.

Plano tangente

Artículo principal: Espacio tangente

En geometría diferencial, espacio tangente es el conjunto asociado a cada punto de una variedad diferenciable formado por todos los vectores tangentes a dicho punto. Es un espacio vectorial de la misma dimensión que la dimensión de la variedad.

Hay varias formas de entender este concepto. Primero vamos a explicar utilizando la gráfica de al lado. Empecemos suponiendo que tenemos una curva $\scriptstyle \gamma$ en la variedad M que pasa por alguna posición elegida cualquiera: $\scriptstyle x\in M$. Es decir un mapeo $\scriptstyle \gamma\ :\ ]-\varepsilon,\varepsilon[\to M$ diferenciable que satisface $\scriptstyle \gamma(0)=x$ y $\scriptstyle \gamma'(0)=v$. Resulta que el conjunto de todos estos vectores forman el espacio tangente $\scriptstyle T_xM$ de x en M.

Referencias

1. ↑ Real Academia Española, 2001

• Weisstein, Eric W. "Tangent Line." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/TangentLine.html

Véase también

• Tangencias