Teorema de Ehrenfest

El teorema de Ehrenfest es un teorema empleado en mecánica cuántica que relaciona la derivada temporal del valor esperado de un operador con el valor esperado del conmutador de tal operador con el hamiltoniano.

Enunciado del teorema

Sea A un operador lineal sin dependencia explícita del tiempo, H el operador hamiltoniano del sistema y Ψ una función de onda, se tiene entonces que:

$\frac{d}{dt}\langle A \rangle=-\frac{i}{\hbar}\langle[A,H]\rangle$

Siendo $\langle A \rangle=\langle \Psi |A\Psi \rangle\qquad \langle [A,H] \rangle=\langle \Psi |[A,H]\Psi \rangle\qquad [A,H]=AH-HA$

En caso de que A dependa del tiempo la expresión queda:

$\frac{d}{dt}\langle A \rangle=-\frac{i}{\hbar}\langle[A,H]\rangle+\langle\frac{\partial A}{\partial t}\rangle$

Demostración

Sea A un operador lineal sin dependencia temporal, la derivada temporal de su valor esperado será:

$\frac{d}{dt}\langle \Psi |A \Psi \rangle=\frac{d}{dt}\int_{\mathbb R^3}\Psi^*A\Psi d^3 \mathbf r=\int_{\mathbb R^3}\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}A\Psi d^3 \mathbf r+\int_{\mathbb R^3}\Psi^*A\frac{\partial \Psi}{\partial t} d^3 \mathbf r+\int_{\mathbb R^3}\Psi^*\frac{\partial A}{\partial t} \Psi d^3 \mathbf r=\langle \frac{\partial \Psi}{\partial t} | A \Psi \rangle+\langle \Psi |A\frac{\partial \Psi}{\partial t}\rangle+\langle \Psi |\frac{\partial A}{\partial t}\Psi\rangle$

Dado que la función de ondas cumple la ecuación de Schrödinger se tiene que:

$i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=H\Psi$

Sustituyendo la derivada temporal por la acción del operador hamiltoniano y empleando la hermiticidad de este último tenemos que:

$\frac{d}{dt}\langle \Psi |A \Psi \rangle-\langle \Psi |\frac{\partial A}{\partial t}\Psi\rangle=\langle \frac{\partial \Psi}{\partial t} | A \Psi \rangle+\langle \Psi |A\frac{\partial \Psi}{\partial t}\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle H\Psi | A \Psi \rangle-\frac{i}{\hbar}\langle \Psi |AH\Psi\rangle=-\frac{i}{\hbar}\langle\Psi|[A,H]\Psi\rangle$

O expresado en forma más compacta:

$\frac{d}{dt}\langle A \rangle=-\frac{i}{\hbar}\langle[A,H]\rangle+\langle \frac{\partial A}{\partial t}\rangle$

Aplicaciones

Relación entre momento y velocidad

Tomando A=x y teniendo en cuenta que:

$[x,H]=[x,\frac{p^2}{2m}+V]=[x,\frac{p^2}{2m}]=\frac{ip}{\hbar}$

Se tiene que:

$\frac{d\langle x \rangle}{dt}=\frac{\langle p \rangle}{m}$

Leyes de Newton

Tomando A=p y teniendo en cuenta que:

$[p,H]=[p,\frac{p^2}{2m}+V]=[p,V]=-i\hbar\nabla V$

Se tiene que:

$\frac{d \langle p \rangle}{dt}=-\nabla V=F$

Conservación de la energía

Si el operador hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo puede tomarse A=H y se tiene que:

$\frac{d\langle H \rangle}{dt}=-\frac{i}{\hbar}[H,H]=0$

Identificando el hamiltoniano con la energía del sistema se tiene:

$\langle H \rangle=E=\mathrm{cte}$

Es decir, cuando el hamiltoniano del sistema no depende explícitamente del tiempo, el valor esperado del hamiltoniano se conserva.