Teorema de Rouché–Frobenius

Teorema de Rouché–Frobenius

En álgebra lineal, el teorema de Rouché-Frobenius permite calcular el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales en función del rango de la matriz de coeficientes y del rango de la matriz ampliada asociadas al sistema.

Lleva el nombre del matemático francés Eugène Rouché quien lo enunció y del matemático alemán Ferdinand Georg Frobenius quien fue uno de los muchos matemáticos que lo demostraron. Así, en otros idiomas[1] recibe otros nombres como el teorema de Rouché-Capelli, el teorema de Rouché-Fontené, el teorema de Kronecker-Capelli, etc.

El teorema establece que para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es condición necesaria y suficiente que la matriz formada por los coeficientes junto con la ampliada por los términos independientes posean el mismo rango. Por lo demás, el sistema constituido será determinado si su rango coincide con el número de incógnitas ó será indeterminado si posee un valor menor a tal número.

Contenido

Enunciado

Un sistema lineal de ecuaciones:


\left\{
\begin{matrix} 
a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n &   =    & b_1\\
a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 +\cdots + a_{2,n}x_n &   =    & b_2\\
     \vdots                                  & \vdots & \vdots \\
a_{m,1}x_1 +a_{m,2}x_2 + \cdots + a_{m,n}x_n &   =    & b_m\end{matrix}
\right.

Puede ser descrito mediante una matriz:

(A|b) = \left(\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & 
\ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{matrix}\right| \left. \begin{matrix}  b_1\\ \vdots \\b_m\end{matrix}\right)

dicha matriz asociada al sistema ; está obtenida por la yuxtaposición de la matriz

 A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & 
\ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}

de los coeficientes y e una posterior columna

 b = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

llamada columna de términos notorios. Las matrices A y (A | b) son llamadas respectivamente incompleta (o de los coeficientes) y completa (o ampliada).

Los coeficientes de los sistemas lineales (y por ende de las matrices) son elementos de un cuerpo K, como podrian ser los números reales  \R o complejos  \mathbb{C} . Indicándose con rk(M) el rango de una matriz M. El enunciado del teorema de Rouché-Frobenius es el siguiente:

Existen soluciones para el sistema si y solo si el rango de la matriz completa es igual al rango de la matriz incompleta.

Entonces, si existen soluciones, éstas forman un subespacio afín de Kn de dimensiones n − rk(A). En particular, si el cuerpo K es infinito tenemos:

  • si rk(A) = n entonces la solución es única,
  • de otro modo existen infinitas posibles soluciones.

Demostración

Existencia

El sistema puede ser descrito de un modo más restringido, introduciendo el vector de las coordenadas

 x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}

y utilizando el producto matricial, del siguiente modo:

Ax = b

En otros términos, b es la imagen del vector x mediante la aplicación lineal

 L_A : K^n \to K^ m
LA(x) = Ax

Entonces el sistema admite soluciones si y solo si b es la imagen de cualesquiera vector x de Kn, en otros términos si está en la imagen de LA. Por otro lado, la imagen de LA es generada desde los vectores dados a partir de las columnasA. Entonces b es en la imagen si y solo si el span de las columnas A contiene b, esto es, si y sí el span de las columnas A es igual al span de las columnas de (A | b). Esta última afirmación es equivalente a pedir que las dos matrices posean el mismo rango.

Subespacio afín

Si existe una solución x, toda otra solución se escribe como x + v, donde v es una solución del sistema lineal homogéneo asociado:

Av = 0

En efecto:

A(x + v) = Ax + Av = b + o = b.

Las soluciones del sistema lineal homogéneo asociado son simplemente el núcleo de la aplicación LA. Para el teorema de la dimensión, el núcleo es un subespacio vectorial de dimensión n − rk(A)). Entonces el espacio de las soluciones , obtenido transladando el núcleo con el vector x, es un subespacio afín de la misma dimensión.

Historia

El teorema fue enunciado por Rouché (1875). Posteriormente Rouché (1880) publicó una versión más completa del teorema.

Después de la publicación, Georges Fontené publicó una nota en los Nouvelles Annales de Mathématiques reclamando haber sido el primero en demostrar el teorema. Más tarde, Frobenius en su artículo Zur Theorie der linearen Gleichungen de 1905 publicado en Crelle's Journal acreditó la demostración a Rouché y Fontené.

En lengua española se conoce al teorema como teorema de Rouché-Frobenius debido al matemático hispano-argentino Julio Rey Pastor que se refirió al teorema con este nombre.

Véase también

  • Teorema de la dimensión o teorema del rango

Referencias

Bibliografía


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Mira otros diccionarios:

  • Teorema de Rouché-Capelli — Saltar a navegación, búsqueda Teorema de Rouché Capelli con algunas variantes también conocido como Teorema de Rouché Frobenius, se trata de un teorema de álgebra lineal que permite calcular el número de soluciones de un sistema lineal de… …   Wikipedia Español

  • Rouché-Frobenius — Rouché Frobenius, teorema de …   Enciclopedia Universal

  • Frobenius — puede referirse a: Johannes Frobenius, nombre latino de Johann Froben (c.1460 1527), impresor y pintor de Basilea. Ferdinand Georg Frobenius (1849 1917), matemático alemán, quien dio nombre a: el teorema de Frobenius (álgebra). el teorema de… …   Wikipedia Español

  • Rouché-Frobenius, teorema de — VER sistema de ecuaciones lineales …   Enciclopedia Universal

  • Ferdinand Georg Frobenius — Foto de F.G.Frobenius. Ferdinand Georg Frobenius (Charlottemburg 26 de octubre de 1849 Berlín 3 de agosto 1917) Matemático alemán reconocido por sus aportes a la teoría de las ecuaciones diferenciales y a la teoría de grupos; también por su… …   Wikipedia Español

  • Sistema — (Del gr. systema.) ► sustantivo masculino 1 Conjunto ordenado de normas o procedimientos que contribuyen a un fin o con que funciona o se hace funcionar una cosa: ■ sistema político; sistema educativo. SINÓNIMO modelo norma 2 Conjunto organizado… …   Enciclopedia Universal

  • Espacio vectorial generado — o span lineal o espacio lineal o lineal hull o capsula lineal. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F, y sea S un subconjunto de V. Definimos W como el conjunto generado por S como: Sigue por definición que W es un subespacio vectorial de V …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”