Teoría de conjuntos de Morse-Kelley

La teoría de conjuntos de Morse-Kelley (MK) es una teoría axiomática de conjuntos. Es similar a la teoría de Von Neumann-Bernays-Gödel, pero MK es más potente y no son equivalentes.

Axiomas

Ontología y notación

Al igual que en NBG, los axiomas de MK se refieren a clases y pertenencia, definiendo conjunto como las clases que pertencen a alguna otra clase. Toda la notación de NBG puede adoptarse aquí.

Axiomas generales

Son idénticos a los axiomas generales de NBG.

Extensionalidad. Dos clases son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos:

$\forall XY,\,X=Y\leftrightarrow\forall Z(Z\in X\leftrightarrow Z\in Y)$

Par. Dados dos conjuntos existe un tercero que los contiene sólo a ambos:

$\forall xy\exists z,\,\forall w(w\in z\leftrightarrow w=z\vee w=y)$

Unión. Dados dos conjuntos, existe un tercero que contiene a los elementos de ambos:

$\forall xy\exists z,\,\forall w(w\in z\leftrightarrow w\in z\vee w\in y)$

Conjunto vacío. Existe un conjunto sin elementos:

$\exists x\forall y,\,y\notin x$

Reemplazo. Dado un conjunto x y una clase unívoca A, existe el conjunto dado por la imagen de x por A:

$\forall xA,\,\text{Un}A\rightarrow\exists y\forall u(u\in y\leftrightarrow \exists v\in x\,(v,u)\in A)$

De este axioma se demuestra un teorema más intuitivo:

Si F:A→B es una función suprayectiva y A es un conjunto, entonces B también lo es.

Esquema de formación de clases

La principal diferencia entre MK y NBG es que en MK adoptamos un esquema de formación de clases sin restringirnos a fórmulas normales:

Esquema de formación de clases. Para toda fórmula φ(x_i) donde Y no está libre,

$\exists Y\forall x_i,\,x_i\in Y\leftrightarrow \varphi(x_i)$

es un axioma de MK.

Axiomas adicionales

De manera idéntica a NBG, además de estos axiomas iniciales, es necesaria una serie de axiomas para que la teoría de conjuntos contenga los aspectos estándar que se usan en la matemática.

Partes. Dado un conjunto, existe otro formado por la totalidad de los subconjuntos del primero:

$\forall x\exists y,\,\forall z(z\in y\leftrightarrow z\subseteq x)$

Infinito. Existe un conjunto biyectable con un subconjunto propio de sí mismo:^[1]

$\exists x f,\,\text{Fn}f\wedge\mathcal D f=x\wedge\mathcal Rf\subsetneq x\wedge f\text{ inyectiva}$

Otro enunciado equivalente a este que también suele adoptarse es el que asegura la existencia de conjuntos inductivos:

$\exists x, \emptyset\in x\wedge\forall y\in x,\,y\cup\{y\}\in x$

Regularidad. Toda clase no vacía contiene una clase disjunta consigo misma:

$\forall X\exists\,Y\in X\,\forall z,\,\neg(z\in X\wedge z\in Y)$

El axioma de elección puede añadirse también a la lista:

Elección. Dado un conjunto, existe una función de elección sobre sus elementos no vacíos:

$\forall x\exists f,\,\text{Fn}f\wedge\mathcal D f=x\wedge \forall u\in x\,(u\neq\emptyset\rightarrow f(u)\in u)$

Diferencias con la teoría de Neumann-Bernays-Gödel

Es obvio demostrar que todo teorema de NBG es un teorema de MK: la axiomatización de MK es prácticamente idéntica a la de NBG con esquema de formación de clases, pero con una versión más fuerte de ésta última.

El inverso no es cierto. En teoría de modelos puede probarse que la consistencia de NBG es un teorema de MK, lo que suponiendo la consistencia de NBG no puede ser un teorema de NBG, por el segundo teorema de incompletitud de Gödel.

Referencias

1. ↑ Se utilizan las notaciones habituales para dominio y recorrido de una función: $\mathcal D F\equiv X|\forall y,\,y\in X\leftrightarrow\exists z\,(y,z)\in F\text{ , }\mathcal R F\equiv X|\forall y,\,y\in X\leftrightarrow\exists z\,(z,y)\in F$

• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos, http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf, consultado el 1-1-2011 .