Topología euclideana

En matemática, y especialmente en topología general, la topología euclideana o topología euclídea es un ejemplo de topología dado por el conjunto de los números reales, denotados mediante R. Dado el conjunto R una topología significa decir que los subconjuntos de R son «abiertos», y hacerlo de tal manera que los siguientes axiomas se cumplan:^[1]

1. La unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
2. La intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
3. El conjunto R y el conjunto vacío ∅ son conjuntos abiertos.

Construcción

Se requiere que el conjunto R y el conjunto vacío ∅ sean conjuntos abiertos, así que se definirá R y ∅ como conjuntos abiertos en esta topología. Dados dos números reales, por ejemplo x e y, con x < y se difine una familia incontable infinita de conjuntos abiertos denotados mediante S_x,y como sigue:^[1]

$S_{x,y} = \{ r \in \bold{R} : x < r < y \} .$

Junto con el conjunto R y el conjunto vacío ∅, los conjuntos S_x,y con x < y son usados como base para la topología euclideana. En otras palabras, los conjuntos abiertos de la topología euclideana son dados por el conjunto R, el conjunto vacío ∅ y las uniones e intersecciones finitas de varios conjuntos S_x,y para los diferentes pares (x,y).

Propiedades

• La línea real, con su topología, es un espacio T₅. Dados dos subconjuntos, digamos A y B, de R con A ∩ B = A ∩ B = ∅, donde A denota la clausura de A, etc., existen conjuntos abiertos S_A y S_B con A ⊆ S_A y B ⊆ S_B tales que S_A ∩ S_B = ∅.^[1]

Referencias

1. ↑ ^{a b c} Steen, L. A.; Seebach, J. A. (1995), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 048668735X 

• Weisstein, Eric W. «Euclidean Topology» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.