Transformación de Jordan-Wigner

En mecánica cuántica, la transformación de Jordan-Wigner es un método teórico que usa la segunda cuantización para transformar operadores de espín en operadores creación y destrucción fermiónicos. En concreto, permite mostrar la equivalencia entre un modelo de Heisenberg unidimensional de espines 1/2 y un gas de Fermi unidimensional. El método fue publicado por Pascual Jordan y Eugene Wigner en 1928.^[1]

Esta operación transforma los espines «arriba» en fermiones o estados ocupados, y los espines «abajo» en estados sin ocupar. Si se definen $\{f_1^{\dagger}, f_1\}$ como operadores creación y destrucción de un fermión, se puede expresar el operador proyección del momento angular en el eje z y los operadores escalera de un espín aislado como:

$S_1^{z} = f_1^{\dagger}f_1 - \frac{1}{2}$

$S_1^{+} = f_1^{\dagger}$

$S_1^{-} = f_1$

Puesto que los operadores de espín de sitios independientes conmutan mientras que los fermiones anticonmutan, cuando la transformación de Jordan-Wigner se aplica a una cadena se introduce una fase en los operadores escalera que, en la posición i depende de la ocupación de las posiciones 1 a i:

$S_{i}^{z} = f^{\dagger}_i f_i - \frac{1}{2}$

$S_{i}^{+} = (-1)^{\phi_i}f^{\dagger}_i$

$S_{i}^{-} = (-1)^{\phi_i}f_i$

donde ϕ_i es el conteo de fermiones, o equivalentemente de espines «arriba», desde el origen de la cadena hasta la posición i:

$\phi_i = \sum_{k=1}^{i-1}\left(\frac{1}{2} + S_{k}^{z}\right) = \sum_{k=1}^{i-1} f_k^{\dagger}f_k = \sum_{k=1}^{i-1} S_{k}^{+}S_{k}^{-}$

Referencias

1. ↑ P. Jordan and E. Wigner, Über das Paulische Äquivalenzverbot, Zeitschrift für Physik 47, No. 9. (1928), pp. 631-651.