Transformación lineal de intervalos

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La transformación lineal de intervalos es una aplicación lineal típica con usos variados como proyección de intervalos o planos. Por ejemplo, la transformación que lleva de un formato de video DVD con resolución de 720x570 pixeles a uno VCD con resolución de 352×240.

Definición

Transformación lineal del intervalo [e₁,e₂] al intervalo [s₁,s₂]

Sean:

$E= [e_1,e_2] \;$ y

$S= [s_1,s_2] \;$

dos intervalos en $\mathbb{R}$. La transformación lineal:

$T(x): [e_1,e_2] \rarr [s_1,s_2]; \; \forall x \in \mathbb{R}$

esta dada por:

$s_1 = m e_1 + b \;$ ---- eq(1)

$s_2 = m e_2 + b \;$ ---- eq(2)

donde m y b son los parámetros de la transformación lineal

$T(x)= mx+b ; \quad \forall x \in \mathbb{R}$.

Resolviendo para eq(1) y eq(2):

$b =s_1 - m e_1 ; b =s_2 - m e_2 \;$

$s_1 - m e_1 = s_2 - m e_2 \;$

$s_1 - s_2 = m( e_1 - e_2) \;$

$m=\frac{(s_1 - s_2)}{(e_1 - e_2)}$

Función lineal de transformación

sustituyendo $m\quad$ en eq(1):

$s_1 = \frac{(s_1 - s_2)}{(e_1 - e_2)} e_1 + b \quad\Rightarrow b = s_1-\frac{(s_1 - s_2)}{(e_1 - e_2)} e_1$

es decir:

$T(x)= \frac{(s_1 - s_2)}{(e_1 - e_2)}x + \Bigg[ s_1-\frac{(s_1 - s_2)}{(e_1 - e_2)} e_1 \Bigg]$

simplificando:

$T(x)= \frac{(s_1 - s_2)}{(e_1 - e_2)}\; (x - e_1) + s_1$

Ejemplo

Como ejemplo de esta transformación, supongamos que un programador de codecs desea transformar de un formato e video DVD a uno VCD, su problema consiste, entre otras cosas, en proyectar el intervalo horizontal [1,720] a otro intervalos horizontal [1,352]; para ello usa la transformación lineal T_h(x) descrita arriba, de la siguiente manera:

$e_1=1 \;$

$e_2=720 \;$

$s_1=1 \;$

$s_2=352\ ;$

Sustituyendo en la expresión:

$T(x)= \frac{(s_1 - s_2)}{(e_1 - e_2)}\; (x - e_1) + s_1$

Obtendremos:

$T_{h}(x)= \frac{(1 - 352)}{(1 - 720)}\; (x - 1) + 1$

Simplificando las fracciones tendremos:

$T_{h}(x)= \frac{351\; x + 368}{719}$

Con lo que para cada x del intervalo [1,720] obtendremos un T(x) correspondiente del intervalo [1,352].

De igual manera para la transformación vertical T_v(x)

$e_1 = 1 \;$

$e_2 = 570 \;$

$s_1 = 240 \;$

$s_2 = 1 \;$

Partiendo de la relación:

$T(x)= \frac{(s_1 - s_2)}{(e_1 - e_2)}\; (x - e_1) + s_1$

y sustituyendo cada termino, tendremos:

$T_{v}(x)= \frac{(240 - 1)}{(1 - 570)}\; (x - 1) + 240$

Operando la expresión, tendremos:

$T_{v}(x)= \frac{-239\; x + 136799}{569}$

En este caso para x= 1, tendremos que T(x)= 240.

Véase también

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Álgebra lineal
• Funciones matemáticas
• Geometría analítica
• Pendiente de una recta
• Ecuación lineal

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Transformación lineal de intervalos. Commons
• Álgebra lineal por Elmer G. Wiens (en inglés)
• Álgebra Lineal: Conceptos Básicos
• Introducción al Álgebra Lineal en Contexto por José Arturo Barreto