Barrera de potencial

Barrera de potencial

Barrera de potencial

Square potential.png

En mecánica cuántica, la barrera de potencial finita es un problema modelo mono-dimensional que permite demostrar el fenómeno del efecto túnel. Para ello se resuelve la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una partícula que incide sobre una barrera de potencial.

Contenido

Características del movimiento

Desde el punto de vista clásico, si la energía de la partícula es menor que la barrera siempre será reflejada, es decir, rebotada. Mientras que si la energía es mayor que la de la barrera siempre la pasará.

El comportamiento cuántico esperado es muy diferente del clásico. De hecho sucede que cuánticamente hay siempre una probabilidad finita de que la partícula "penetre" la barrera y continúe viajando hacia el otro lado, incluso cuando la energía de la partícula es menor que la de la barrera. La probabilidad de que la partícula pase a través de la barrera viene dada por el coeficiente de transmisión, mientras que la probabilidad de que la partícula sea reflejada viene dada por el coeficiente de reflexión.

Deducción

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una dimensión es

H\psi(x)=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\right]\psi(x)=E\psi(x),

donde H es el Hamiltoniano, \hbar es la constante de Planck reducida, m es la masa de la partícula, E es la energía de la partícula y

Colisión de una partícula con una barrera de potencial finito de altura V0. Se indican las amplitudes y sentido (hacia la derecha y hacia la izquierda) de las ondas. Se representan en rojo aquellas ondas usadas para obtener las amplitudes de las ondas reflejadas y transmitidas. En la ilustración se considera el caso E > V0.

(1) 
V(x)=
\begin{cases}
0   & \mbox{si } x < 0 \\
V_0 & \mbox{si } 0 \le x \le a \\
0   & \mbox{si } x > a \\
\end{cases}

es la barrera de potencial de altura V0 > 0 y anchura a.

(Una forma más elegante de expresar el potencial es en función de la función escalón de Heaviside, definida por \Theta(x)=0,\; x<0;\; \Theta(x)=1,\; x>0\,. Entonces, el potencial se expresa como V(x)=V_0[\Theta(x)-\Theta(x-a)]\,). Con esta elección del origen de coordenadas, la barrera se encuentra entre x = 0 y x = a. Sin embargo, es posible cualquier otra elección del origen de coordenadas sin que cambien los resultados.

La barrera divide el espacio en tres zonas, correspondientes a x<0, 0<x<a, x>0\,. En cada una de estas zonas el potencial es constante, lo que significa que la partícula es cuasi-libre. Así, la solución general se puede escribir como una superposición de ondas moviéndose hacia la derecha y hacia la izquierda. Para el caso en el que la partícula tiene una energía menor que la de la barrera (E < V0), tendremos

(2) 
\psi(x)=
\begin{cases}
  A_r e^{i k_0 x} + A_l e^{-ik_0x}  & \mbox{si } x < 0 \\
  B_r e^{k_1 x} + B_l e^{-k_1x}     & \mbox{si } 0 \le x \le a \\
  C_r e^{i k_0 x} + C_l e^{-ik_0x}  & \mbox{si } x > a \\
\end{cases}

donde el número de ondas está relacionado con la energía

(3) 
\begin{cases}
  k_0=\sqrt{2m E/\hbar^{2}}        & \mbox{si } x < 0 \qquad o \qquad x > a \\
  k_1=\sqrt{2m (V_0-E)/\hbar^{2}}  & \mbox{si } 0 \le x \le a \\
\end{cases}

La relación entre los coeficientes A,B,C se obtiene de las condiciones de contorno de la función de onda en x = 0 and x = a. Así, las condiciones de continuidad de la función de onda y de su primera derivada se expresan como:

(4) 
\begin{cases}
  \lim_{x \to 0^-}\psi(x)=\lim_{x \to 0^+}\psi(x) \\
  \lim_{x \to 0^-}\frac{d}{dx}\psi(x)=\lim_{x \to 0^+}\frac{d}{dx}\psi(x) \\
  \lim_{x \to a^-}\psi(x)=\lim_{x \to a^+}\psi(x) \\
  \lim_{x \to a^-}\frac{d}{dx}\psi(x)=\lim_{x \to a^+}\frac{d}{dx}\psi(x) \\
\end{cases}

Teniendo en cuenta la expresión de la función de onda, las condiciones de contorno imponen las siguientes relaciones entre los coeficientes

(5) 
\begin{cases}
 A_r+A_l=B_r+B_l, \\
 ik_0(A_r-A_l)=k_1(B_r-B_l), \\
 B_re^{ak_1}+B_le^{-ak_1}=C_re^{iak_0}+C_le^{-iak_0}, \\
 k_1(B_re^{ak_1}-B_le^{-ak_1})=ik_0(C_re^{iak_0}-C_le^{-iak_0}) \\
\end{cases}

Coeficiente de transmisión

Probabilidad de transmisión a través de una barrera de potencial finita para \sqrt{2m V_0}a/\hbar=7. Línea discontínua: resultado clásico. Línea sólida: resultado mecano cuántico.

El coeficiente de transmisión se define como la relación entre el flujo o densidad de corriente de la onda transmitida y el flujo de la onda incidente. Se utiliza habitualmente para obtener la probabilidad de que una partícula pase a través de una barrera por efecto túnel. Así.

T = \frac{|j_{\mbox{transmitida}}|}{|j_{\mbox{incidente}}|}

donde jincidente es la densidad de corriente en la onda que incide antes de alcanzar la barrera y jtransmitida la densidad de corriente en la onda transmitida al otro lado de la barrera.

La densidad de corriente asociada con la onda plana incidente es

j_{\mbox{incidente}} = |A_r|^2 \frac{\hbar k_0}{m}

mientras que la asociada con la onda plana transmitida

 j_{\mbox{transmitida}} = |C_r|^2 \frac{\hbar k_0}{m}

De esta forma, el coeficiente de transmisión se obtiene de la relación entre los cuadrados de las amplitudes de las ondas incidente y transmitida

T = \frac{|C_r|^2}{|A_r|^2}

Es interesante presentar una expresión aproximada para el coeficiente de transmisión para el caso en el que la energía de la partícula E es menor que la de la barrera V0. Para ello consideremos una barrera con una anchura a grande. Si a\rightarrow \infty, el coeficiente Br tenderá a cero para compensar que la exponencial e^{k_1 x} tiende a infinito. Así, la condición de continuidad de la función de onda en x = a se expresa en este caso simplificado como

C_r e^{i k_0 a} = B_l e^{-k_1 a} \rightarrow |C_r|^2 = |B_l|^2 e^{-2 k_1 a}

De esta manera, si E < V0, el coeficiente de transmisión depende de la anchura de la barrera a de forma exponencial

T =\frac{|C_r|^2}{|A_r|^2} \sim \frac{|B_l|^2}{|A_r|^2} e^{-2 k_1 a}

Para obtener la dependencia con la energía, tenemos que resolver el sistema de ecuaciones (5), con el fin de relacionar Bl con Ar.


 B_l = \frac{2 i k_0}{ik_0-k_1} A_r

Así,

T \sim \frac{4 k_0^2}{k_0^2+k_1^2} e^{-2 k_1 a} = \frac{4E}{V_0} e^{-2 \sqrt{2m (V_0-E)/\hbar^{2}} a}

Soluciones exactas

E < V0

Representación de la parte real, parte imaginaria y la densidad de probabilidad de un estado estacionario \Psi(x,t)=\psi(x) e^{-iEt/\hbar} con E < V0. Nótese que la densidad de probabilidad no varía con el tiempo.

En este caso k_1=\sqrt{2m (V_0-E)/\hbar^{2}}

T = \frac{|C_r|^2}{|A_r|^2} 
         = \frac{4k_0^2 k_1^2}{4k_0^2 k_1^2 + (k_0^2 + k_1^2)^2 \sinh^2 k_1 a}
         = \frac{4E(V_0-E)}{4E(V_0-E)+V_0^2\sinh^2(k_1 a)}

E > V0

En este caso k_1=\sqrt{2m (E-V_0)/\hbar^{2}}

T = \frac{|C_r|^2}{|A_r|^2} 
         = \frac{4k_0^2 k_1^2}{4k_0^2 k_1^2 + (k_0^2 - k_1^2)^2 \sin^2 k_1 a}
         = \frac{4E(E-V_0)}{4E(E-V_0)+V_0^2\sin^2(k_1 a)}

Referencias

  • Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu et Frank Laloë (1977). Mécanique quantique, vol. I et II. Paris: Collection Enseignement des sciences (Hermann). ISBN 2-7056-5767-3.
Obtenido de "Barrera de potencial"

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Mira otros diccionarios:

  • Potencial de reposo — Saltar a navegación, búsqueda El potencial de reposo es la diferencia de potencial que existe entre el interior y el exterior de una célula. Se debe a que la membrana celular se comporta como una barrera semipermeable selectiva, es decir permite… …   Wikipedia Español

  • Seto (barrera) — Seto de árboles que delimita prados y terrenos de cultivo. Un seto es una asociación de arbustos o árboles generalmente establecidos y mantenidos para formar una cerca o barrera. Los setos generalmente están dispuestos en límites de parcela para… …   Wikipedia Español

  • Efecto túnel — Saltar a navegación, búsqueda Reflexión y tunelado de un electrón dirigido hacia una barrera potencial. El punto resplandeciente moviéndose de derecha a izquierda es la sección reflejada del wavepacket. Un vislumbre puede observarse a la derecha… …   Wikipedia Español

  • Diodo — Saltar a navegación, búsqueda Tipos de diodos de estado sólido …   Wikipedia Español

  • Unión PN — Se denomina unión P N a la estructura fundamental de los componentes electrónicos comúnmente denominados semiconductores, principalmente diodos y transistores BJT. Está formada por la unión metalúrgica de dos cristales, generalmente de Silicio… …   Wikipedia Español

  • Procesos nucleares — Saltar a navegación, búsqueda Los procesos nucleares son procesos de combinación y transformación de las partículas y núcleos atómicos. Las reacciones nucleares pueden ser endotérmicas o exotérmicas, atendiendo a si precisan energía para… …   Wikipedia Español

  • Vida — Para otros usos de este término, véase Vida (desambiguación). El término vida (latín: vita )?, desde el punto de vista de la biología, que es el más usado, hace alusión a aquello que distingue a los reinos animal, vegetal, hongos, protistas,… …   Wikipedia Español

  • Coeficiente de reflexión — El coeficiente de reflexión es utilizado en física y en ingeniería eléctrica cuando se consideran medios con discontinuidades en propagación de ondas. Un coeficiente de reflexión describe la amplitud (o la intensidad) de una onda reflejada… …   Wikipedia Español

  • Desintegración Alfa — Saltar a navegación, búsqueda Desintegración alfa. La desintegración alfa es una forma de desintegración radiactiva donde un núcleo atómico emite una partícula alfa y se transforma en un núcleo con 4 unidades menos de número másico y dos unidades …   Wikipedia Español

  • Limitador — Diversas formas de ondas. Un limitador o recortador es un circuito que permite, mediante el uso de resistencias y diodos, eliminar tensiones que no nos interesa que lleguen a un determinado punto de un circuito. Mediante un limitador podemos… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”