Base de Hamel

Base de Hamel

Saltar a navegación, búsqueda

Una Base de Hamel H de un espacio vectorial X sobre un cuerpo $(K,+,\cdot)$ consiste en un subconjunto de X que cumple:

1)Es linealmente independiente: $\forall F \subseteq H ,F \;\mathrm{finito}\;, \sum_{f\in F} \lambda_f \cdot f = 0_{X}, \mathrm{con} \;\lambda_{f} \in K \Rightarrow \lambda_f = 0_{K}$

2)Genera X, es decir: $\forall x \in X, \exist\; F \;\mathrm{finito}, F\subseteq H \; \mathrm{tal\; que:}\; \sum_{f\in F}\lambda_f \cdot f=x, \; \mathrm{con}\;\lambda_{f} \in K$

Es posible demostrar en base al Axioma de Elección (o más directamente, en base a alguna de sus formas equivalentes como el Lema de Zorn o el Principio maximal de Hausdorff), que todo espacio vectorial admite una Base de Hamel.

Como ejemplo interesante podemos considerar a los números reales generados como espacio vectorial sobre los racionales. Se puede afirmar entonces que existe un $H \subset \mathbb{R}$,la base de Hamel, tal que cualquier otro real puede ser escrito en forma única como una combinación lineal finita de racionales, con elementos de dicha base.

Temas relacionados

Base (álgebra)

Obtenido de "Base de Hamel"