Base natural

Base natural

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En geometría diferencial, una base natural es un tipo base vectorial del espacio tangente a una variedad diferenciable que puede ser asociada naturalmente a un sistema de coordenadas curvilíneo.

Definición de base natural

Dada una variedad diferenciable $\mathcal{M}$ de dimensión n y un conjunto de n campos vectoriales $V_1,...,V_n\;\in T\mathcal{M}$ definidos sobre un conjunto abierto A esa variedad tales que en cada punto forman una base vectorial del espacio tangente a la variedad, es una base natural si y sólo si existe una carta local o sistema de coordenadas local $\varphi:A \subset \mathcal{M} \to \R^n \land \varphi(P) \mapsto (x_1(P),...,x_n(P))$ que cumpla alguna de las siguientes condiciones:

1. Los campos vectoriales coinciden con las derivadas a lo largo de las curvas coordenadas asociadas a las coordenadas locales: ${V_i|}_P = \left(\part_{x_i}\right)_P$.
2. La base dual asociada a los n campos vectoriales en cada punto, está formada por 1-formas exactas, es decir, existen $\theta^1,...,\theta^n\ \in T^*\mathcal{M}$ y una carta local, como la descrita anteriormente, tal que $\theta^i(V_j) =\delta_j^i$ y $\theta^i = dx^i\;$.

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