Dodecaedro

Dodecaedro regular
Familia: Sólidos platónicos
Imágen del sólido
Caras	12
Polígonos que forman las caras	Pentágonos regulares
Aristas	30
Vértices	20
Grupo de simetría	Icosaédrico (Ih)
Poliedro dual	Icosaedro

Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Recientes investigaciones científicas han propuesto que el espacio dodecahédrico de Poincaré sería la forma del Universo^{[1] [2] [3]} y en el año 2008 se estimó la orientación óptima del modelo en el cielo.^[4]

Dodecaedro regular

Plantilla para armar un dodecaedro regular.

Cálculo de dimensiones fundamentales

• Radio externo: $r_u=\frac{\sqrt{6}}{4} \sqrt{3 +\sqrt{5}} \cdot a \approx 1.401258538 \cdot a$
• Radio interno: $r_i=\frac{a}{4} \sqrt{ \frac{50+22\sqrt{5}}{5} } \approx 1.113516364 \cdot a$

En todo poliedro regular, el número de caras más el número de vértices, es igual al número de aristas más 2.

$C + V = A + 2 \,$

donde: C = número de caras; V = número de vértices; A = número de aristas

Área

El área total de sus caras, A (que es 12 veces el área de una de ellas, A_c) es igual a:

$A = 12 \cdot \frac{\sqrt{25+10 \sqrt{5}}}{4} \cdot a^2 = 3 \sqrt{25+10 \sqrt{5}} \cdot a^2 \approx 20,65\cdot a^2$

También se puede con esta fórmula basada en parte en la trigonometría:

$A = \frac{15 l^2}{tan 36^o}$

Volumen

Para un dodecaedro de arista A, se puede calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

$V = \frac{1}{4} \left(15+7 \sqrt{5} \right)\cdot a^3 \approx 7,66 \cdot a^3$

Propiedades particulares

Simetría

Dado de un juego de rol en forma de dodecaedro.

Un dodecaedro regular tiene seis ejes de simetría de orden cinco, las rectas que unen los centros de caras opuestas; quince ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas; quince planos de simetría, que contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 120: 2x(6x5+15x2).

Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría icosaédricos, el denominado I_h según la notación de Schöenflies.

El dodecaedro tiene también diez ejes de simetría de orden tres: las rectas que unen cada par de vértices opuestos. Subdividiendo cada cara del dodecaedro en triángulos se pueden construir domos geodésicos.

Aplicaciones y ejemplos

En los juegos de rol el dado de doce caras es un dodecaedro regular. Su notación escrita es «D12».

Véase también

• Poliedro regular

Referencias

1. ↑ «Is the universe a dodecahedron?». PhysicsWeb.
2. ↑ Sean Markey (8 de octubre de 2003). «Universe is Finite, "Soccer Ball"-Shaped, Study Hints». National Geographic News.
3. ↑ Luminet, Jean-Pierre; Jeff Weeks, Alain Riazuelo, Roland Lehoucq, Jean-Phillipe Uzan (09-10-2003). «Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background». Nature (Nature) 425:  pp. 593. doi:10.1038/nature01944. http://arxiv.org/abs/astro-ph/0310253. 
4. ↑ Roukema, Boudewijn; Zbigniew Buliński, Agnieszka Szaniewska, Nicolas E. Gaudin (2008). «A test of the Poincare dodecahedral space topology hypothesis with the WMAP CMB data». Astronomy and Astrophysics 482:  pp. 747. doi:10.1051/0004-6361:20078777. http://arxiv.org/abs/0801.0006. 

Enlaces externos

• Geometría del pentágono y del dodecaedro