Función biyectiva


Función biyectiva
Ejemplo de función biyectiva.

En matemática, una función f \colon X \to Y \, es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente,

\forall y\in Y : \exists !\ x\in X,\ f(x) = y

Una implicación directa de lo anterior, es que en una función biyectiva la cardinalidad del conjunto de salida o dominio, y el de llegada o codominio, son iguales. Esto también se puede ver en el ejemplo, donde |X|=|Y|=4.

Contenido

Teorema

Si f\, es una función biyectiva, entonces su función inversa f^{-1}\, existe y también es biyectiva.

Ejemplo

La función:


   f(x) =6x + 9 \,

es biyectiva.

Luego, su inversa:


   f^{-1}(y) = \frac{y - 9}{6} \,

también lo es.[1]

El siguiente diagrama se puede ver cuando la función es biyectiva:

Funciones Inyectiva No inyectiva
Sobreyectiva
Correspon 1602.svg
Biyectiva
Correspon 1502.svg
No sobreyectiva Correspon 1402.svg Correspon 1302.svg

Véase también

Referencias

  1. Como consecuencia de la afirmación de que toda función biyectiva tiene una inversa también biyectiva, lo cual se puede intuir gráficamente, se deduce analíticamente que el Dominio de toda función biyectiva corresponde a la Imagen de su inversa, y viceversa.

Enlaces externos


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