Mínimo común múltiplo


Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales ni números negativos ni numeros complejos nada de eso.

Contenido

Cálculo del m.c.m

Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:


    \begin{array}{r|l} 
        72 & 2 \\
        36 & 2 \\
        18 & 2 \\
         9 & 3 \\
         3 & 3 \\
         1 & 
    \end{array}

     72 = 2^3 \cdot 3^2 \,

    \begin{array}{r|l} 
       50 & 2 \\
       25 & 5 \\
        5 & 5 \\
        1 & 
    \end{array}

     50 = 2 \cdot 5^2 \,

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

\operatorname{mcm} (72, 50) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 1800

Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.

\operatorname{mcm}(a, b) = \frac {a \cdot b}{\operatorname{mcd}(a, b)}

Además podemos utilizar otro método en caso que hubiéramos calculado el máximo común divisor, en el cual se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: 2·2·3·5 = 60. El m.c.m. de 4, 5 y 6 es 60.

Propiedades básicas

  • Si el producto de dos números lo dividimos por su máximo común divisor el cociente es el mínimo común múltiplo.
A y B que descompuestos en números primos será A=(p1·p2p3·p4 y B=(p1·p2p5·p6 donde si m.c.d. es (p1·p2) y el producto de A·B=(p1·p2p3·p4·(p1·p2p5·p6 donde vemos que (p1·p2) esta repetido dos veces, luego si dividimos ese total por (p1·p2) tendremos el total menor que contiene a A y B siendo su m.c.m.
  • El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al mayor, será el mayor. Es lógico ya que un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor.
  • El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.
  • El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. Es evidente según la propiedad 1 de este tema.
  • El máximo común divisor de varios números está incluido en el mínimo común múltiplo.

Aplicaciones del m.c.m.

Suma de fracciones

El m.c.m. se puede emplear para sumar fracciones de distinto denominador, tomando el m.c.m de los denominadores de las fracciones, y convirtiéndolas en fracciones equivalentes que puedan ser sumadas. Véase el siguiente ejemplo:


   \frac {1}{6} + \frac {4}{33}

Para poder efectuar la suma, primero se debe buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores (6 y 33)


    \begin{array}{r|l} 
        6 & 2 \\
        3 & 3 \\
        1 &
    \end{array}

     6 = 2 \cdot 3 \,

    \begin{array}{r|l} 
       33 & 3  \\
       11 & 11 \\
        1 & 
    \end{array}

     33 = 3 \cdot 11 \,

luego el mínimo común múltiplo de 6 y 33 es:


   \operatorname{mcm} =
   2 \cdot 3 \cdot 11 =
   66

que corresponde al número 66; ambas fracciones tendrán como denominador 66, ahora sólo hay que hallar a cada fracción su fracción equivalente, con denominador 66 y será posible la suma:


   \cfrac {1}{6} + \frac {4}{33} = \quad
   \cfrac {1}{6} \cdot \cfrac {11}{11} + \cfrac {4}{33} \cdot \cfrac {2}{2} = \quad
   \cfrac {11}{66} + \frac {8}{66} = \quad
   \cfrac {19}{66}

Expresiones algebraicas

El m.c.m. para dos expresiones algebraicas, corresponde a la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas. Esta teoría es de suma importancia para las fracciones y ecuaciones.[1]

De esta forma el m.c.m. de  \ 4a y  \ 6a^2 es  \ 12a^2 igualmente para  \ 2x^2 , \ 6x^3 y  \ 9x^4 es  \ 18x^4.

Algoritmos de cálculo

Para más de dos números, un algoritmo es el siguiente:

  1. Descomponer los números en factores primos.
  2. Para cada factor, elegir entre todas las descomposiciones aquel factor con mayor exponente.
  3. Multiplicar todos los factores elegidos.

Por ejemplo, mcm(324,16,7,5) La descomposición de 324 es 22·34; la descomposición de 16 es: 24; la descomposición de 7 es 7 y la descomposición de 5 es 5. Por tanto, obtenemos el mcm: 24·34·7·5 = 45360.

Referencias

  1. Baldor, Aurelio. «XII» (en Español). Álgebra. Página 188: Cultural. pp. 574. ISBN 9684392117. 

Véase también

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • Mínimo común múltiplo — El mínimo común múltiplo (m.c.m.; mcm) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Para el cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números se descompondrán los números en factores primos y se… …   Enciclopedia Universal

  • Mínimo común denominador — Recibe el nombre de mínimo común denominador de dos o más fracciones aquel número resultado de calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores de esas mismas fracciones, generalmente con el objetivo de obtener otras dos (o más) fracciones… …   Wikipedia Español

  • Mínimo — Mínimo, superlativo de pequeño (el más pequeño o menor de entre todos), puede hacer referencia a: Un concepto matemático Mínimo común múltiplo Mínimo común denominador Polinomio mínimo Elemento mínimo Árbol recubridor mínimo Mínimo de una función …   Wikipedia Español

  • común — adjetivo 1. Que pertenece a varios: Es una zona de juegos común. La piscina es común a toda la urbanización. El terreno es común de todos los vecinos. fosa* común. 2. Que pertenece a todas las personas o cosas de la misma clase: Es una… …   Diccionario Salamanca de la Lengua Española

  • mínimo — mínimo, ma adjetivo 1. (superlativo de pequeño; antepuesto / pospuesto) Que es tan pequeño en su especie que no lo hay menor o igual: Tengo unos mínimos conocimientos de Física. salario* / sueldo mínimo. sustantivo masculino 1. Límite o grado… …   Diccionario Salamanca de la Lengua Española

  • múltiplo — múltiplo, pla adjetivo,sustantivo masculino 1. Área: matemáticas [Número, cantidad] que contiene a otro número u otra cantidad dos o más veces exactamente. Diez es múltiplo de dos. mínimo común múltiplo El menor de los múltiplos comunes a varios… …   Diccionario Salamanca de la Lengua Española

  • mínimo — (Del lat. minimus.) ► adjetivo 1 Que es muy pequeño: ■ el coste de mantenimiento es mínimo; no hizo el más mínimo caso. ANTÓNIMO máximo 2 Que es el más pequeño de su especie: ■ la temperatura mínima registrada ha sido de tres grados. 3 Que se… …   Enciclopedia Universal

  • múltiplo — {{#}}{{LM M26805}}{{〓}} {{[}}múltiplo{{]}} ‹múl·ti·plo› {{《}}▍ adj.inv./s.m.{{》}} {{<}}1{{>}} {{♂}}Referido a un número o a una cantidad,{{♀}} que contienen a otro u otra un número exacto de veces: • El número 10 es múltiplo de 2 y de 5.{{○}}… …   Diccionario de uso del español actual con sinónimos y antónimos

  • Múltiplo — (Del lat. multiplus .) ► adjetivo/ sustantivo masculino MATEMÁTICAS Se aplica al número que contiene varias veces a otro mencionado: ■ el ocho es múltiplo del dos y también del cuatro. * * * múltiplo, a (del b. lat. «multĭplus») adj. y n. m. Mat …   Enciclopedia Universal

  • minimo — mì·ni·mo agg., s.m. FO 1a. agg., superl. di piccolo, piccolissimo, il più piccolo (abbr. min.): una differenza minima, grandezze minime; non avere la minima idea di qcs., non saperne assolutamente nulla | che è in quantità esigua, misera: una… …   Dizionario italiano