Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales ni números negativos ni numeros complejos nada de eso.

Cálculo del m.c.m

Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:

$\begin{array}{r|l} 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}$ $72 = 2^3 \cdot 3^2 \,$

$\begin{array}{r|l} 50 & 2 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$ $50 = 2 \cdot 5^2 \,$

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

$\operatorname{mcm} (72, 50) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 1800$

Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.

$\operatorname{mcm}(a, b) = \frac {a \cdot b}{\operatorname{mcd}(a, b)}$

Además podemos utilizar otro método en caso que hubiéramos calculado el máximo común divisor, en el cual se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: 2·2·3·5 = 60. El m.c.m. de 4, 5 y 6 es 60.

Propiedades básicas

• Si el producto de dos números lo dividimos por su máximo común divisor el cociente es el mínimo común múltiplo.

A y B que descompuestos en números primos será A=(p₁·p₂)·p₃·p₄ y B=(p₁·p₂)·p₅·p₆ donde si m.c.d. es (p₁·p₂) y el producto de A·B=(p₁·p₂)·p₃·p₄·(p₁·p₂)·p₅·p₆ donde vemos que (p₁·p₂) esta repetido dos veces, luego si dividimos ese total por (p₁·p₂) tendremos el total menor que contiene a A y B siendo su m.c.m.

• El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al mayor, será el mayor. Es lógico ya que un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor.
• El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.
• El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. Es evidente según la propiedad 1 de este tema.
• El máximo común divisor de varios números está incluido en el mínimo común múltiplo.

Aplicaciones del m.c.m.

Suma de fracciones

El m.c.m. se puede emplear para sumar fracciones de distinto denominador, tomando el m.c.m de los denominadores de las fracciones, y convirtiéndolas en fracciones equivalentes que puedan ser sumadas. Véase el siguiente ejemplo:

$\frac {1}{6} + \frac {4}{33}$

Para poder efectuar la suma, primero se debe buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores (6 y 33)

$\begin{array}{r|l} 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}$ $6 = 2 \cdot 3 \,$

$\begin{array}{r|l} 33 & 3 \\ 11 & 11 \\ 1 & \end{array}$ $33 = 3 \cdot 11 \,$

luego el mínimo común múltiplo de 6 y 33 es:

$\operatorname{mcm} = 2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$

que corresponde al número 66; ambas fracciones tendrán como denominador 66, ahora sólo hay que hallar a cada fracción su fracción equivalente, con denominador 66 y será posible la suma:

$\cfrac {1}{6} + \frac {4}{33} = \quad \cfrac {1}{6} \cdot \cfrac {11}{11} + \cfrac {4}{33} \cdot \cfrac {2}{2} = \quad \cfrac {11}{66} + \frac {8}{66} = \quad \cfrac {19}{66}$

Expresiones algebraicas

El m.c.m. para dos expresiones algebraicas, corresponde a la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas. Esta teoría es de suma importancia para las fracciones y ecuaciones.^[1]

De esta forma el m.c.m. de $\ 4a$ y $\ 6a^2$ es $\ 12a^2$ igualmente para $\ 2x^2 , \ 6x^3$ y $\ 9x^4$ es $\ 18x^4$.

Algoritmos de cálculo

Para más de dos números, un algoritmo es el siguiente:

1. Descomponer los números en factores primos.
2. Para cada factor, elegir entre todas las descomposiciones aquel factor con mayor exponente.
3. Multiplicar todos los factores elegidos.

Por ejemplo, mcm(324,16,7,5) La descomposición de 324 es 2²·3⁴; la descomposición de 16 es: 2⁴; la descomposición de 7 es 7 y la descomposición de 5 es 5. Por tanto, obtenemos el mcm: 2⁴·3⁴·7·5 = 45360.

Referencias

1. ↑ Baldor, Aurelio. «XII» (en Español). Álgebra. Página 188: Cultural. pp. 574. ISBN 9684392117. 

Véase también

• Máximo común divisor
• Número primo
• Mínimo común denominador
• Números naturales

Enlaces externos

• Mínimo común múltiplo en Enciclopedia libre universal española
• Vídeo-Explicación de Cálculo del Mínimo Común Múltiplo