Cambio de variable

Cambio de variable

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Un cambio de variable es una técnica empleada en matemática para resolver algunas ecuaciones o sistemas de ecuaciones de grado superior a uno, que de otra forma no sería posible resolver. Mediante este sistema se da paso a una ecuación equivalente, y, una vez resuelta, se deshace el cambio para obtener el valor de la incógnita inicial. Se emplea en los siguientes casos:

• Ecuaciones bicuadradas
• Ecuaciones y sistemas exponenciales
• Ecuaciones de tercer grado
• Ecuaciones de cuarto grado

Ejemplo: resolución de una ecuación exponencial mediante cambio de variable:

Existen tres tipos de ecuaciones exponenciales; en el segundo caso pueden reducirse a una de segundo grado. Es el caso de $9^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0 \,$. Se siguen los siguientes pasos:

• Se factoriza 9 en 3² para que tenga la misma base que 7 · 3^x:

$3^{2x} - 7 \cdot 3^x - 18 = 0 \,$

• Se realiza el cambio de variable 3^x = z, por lo que 3^2x = z², y tenemos:

$z^2 - 7z - 18 = 0 \rightarrow\ z = \frac {7 \pm \sqrt {49 + 72}} {2} = \frac {7 \pm 11} {2} \rightarrow\ z_{1} = 9 ; z_{2} = -2\,$

• Se deshace el cambio de variable:

$3^x = 9 \rightarrow\ 3^x = 3^2 \rightarrow\ x = 2$

La única solución es x = 2, ya que las potencias de 3 siempre son positivas, por lo que 3^x = - 2 no puede cumplirse.

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