Clausura algebraica


Clausura algebraica

En Matemáticas, la clausura algebraica (o cerradura algebraica) de un cuerpo K es una extensión algebraica de K que sea algebraicamente cerrada. Es una de las muchas complexiones que existen en matemáticas.

Usando el Lema de Zorn, puede probarse que todo cuerpo tiene una clausura algebraica, y que la clausura algebraica de un cuerpo K es única salvo un isomorfismo que fija cada miembro de K. Por esta unicidad esencial, a menudo hablamos de la clausura algebraica de K, más que de una clausura algebraica de K.

La clausura algebraica de un cuerpo K puede pensarse como la mayor extensión algebraica de K. Para ver esto, notar que si L es cualquier extensión algebraica de K, entonces la clausura algebraica de L es también una clausura algebraica de K, y así L está contenida en la clausura algebraica de K. La clausura algebraica de K es también el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene a K, ya que si M es cualquier cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a K, entonces los elementos de M que son algebraicos sobre K forman una clausura algebraica de K.

La clausura algebraica de un cuerpo K tiene la misma cardinalidad que K si K es infinito, y es infinito numerable si K es finito.

Ejemplos

  • El Teorema fundamental del álgebra dice que la clausura algebraica del cuerpo de los números reales es el cuerpo de los números complejos.
  • La clausura algebraica de los números racionales es el cuerpo de los números algebraicos.
  • Existen muchos cuerpos algebraicamente cerrados numerables en los números complejos, y contienen estrictamente al cuerpo de los números algebraicos; son las clausura algebraicas de las extensiones trascendentales de los números racionales.
  • Para un cuerpo finito de orden primo p, la clausura algebraica es un cuerpo infinito numerable que contiene una copia del cuerpo de orden pn para cada entero n positivo (y de hecho es la unión de dichas copias).

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