Distribución χ²


Distribución χ²
Distribución χ² (ji-cuadrado)
Chi-square distributionPDF.png
Función de densidad de probabilidad
Chi-square distributionCDF.png
Función de distribución de probabilidad
Parámetros k > 0\, grados de libertad
Dominio x \in [0; +\infty)\,
Función de densidad (pdf) \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\,
Función de distribución (cdf) \frac{\Gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,
Media k\,
Mediana aproximadamente k-2/3\,
Moda k-2\, if k\geq 2\,
Varianza 2\,k\,
Coeficiente de simetría \sqrt{8/k}\,
Curtosis 12/k\,
Entropía \frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)
Función generadora de momentos (mgf) (1-2\,t)^{-k/2} for 2\,t<1\,
Función característica (1-2\,i\,t)^{-k/2}\,

En estadística, la distribución χ² (de Pearson), llamada Chi cuadrado o Ji cuadrado, es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria

X = Z_1^2 + \cdots + Z_k^2

donde Zi son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria X tenga esta distribución se representa habitualmente así: X\sim\chi^2_k .

Es conveniente tener en cuenta que la letra griega χ se transcribe al latín como chi[1] y se pronuncia en castellano como ji.[2] [3]

Contenido

Propiedades

Función de densidad

Su función de densidad es:


f(x;k)=
\begin{cases}\displaystyle
\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{(k/2) - 1} e^{-x/2}&\text{para }x\ge0,\\
0&\text{para }x<0
\end{cases}

donde Γ es la función gamma.

Función de distribución acumulada

Su función de distribución es

 F_k(x) = \frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}

donde \ \gamma(k,z) es la función gamma incompleta.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k y 2k.

Relación con otras distribuciones

La distribución χ² es un caso especial de la distribución gamma. De hecho, X \sim \Gamma(\frac{k}{2}, \theta=2). Como consecuencia, cuando k = 2, la distribución χ² es una distribución exponencial de media k = 2.

Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema central del límite, puede aproximarse por una distribución normal:

 \lim_{k \to \infty} \frac{\chi^2_k (x)}{ k }  = N_{(1,\sqrt{2/k})} (x)

Aplicaciones

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la de la denominada prueba χ² utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.

Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².

Referencias

Véase también

Enlaces externos


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