Relación de equivalencia

Sea K un conjunto dado no vacío y R una relación binaria definida sobre K. Se dice que R es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:

• Reflexividad: Todo elemento de K está relacionado consigo mismo. Es decir,

$\forall x\in K, \; xRx$.

• Simetría: Si un elemento de K está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir,

$\forall x,y\in K, \; xRy \; \Rightarrow \; yRx$

• Transitividad: Si un elemento de K está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,

$\forall x,y,z\in K, \; xRy , yRz \; \Rightarrow \; xRz$

Una relación de equivalencia R sobre un conjunto K puede denotarse con el par ordenado $(K,\sim)\,$.

Clases de equivalencia

La relación de equivalencia ∼ define subconjuntos disjuntos en K llamados clases de equivalencia de la siguiente manera: Dado un elemento $a\in K$, al conjunto dado por todos los elementos relacionados con a

$[a] = \{b\in K\,|\,b\sim a\}$

se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento a. Al elemento a se le llama representante de la clase.

Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si éste es finito, se dice que la relación es de orden finito.

El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en ciencia, dado un conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones de equivalencia en base a algún criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar toda la gama de objetos.

Conjunto cociente

El conjunto de todas las clases de equivalencia se denomina conjunto cociente y se lo suele denotar como:

$K/\sim\, \qquad \qquad K/\sim = \{[a]\in \mathcal{P}(K)|\ ([a]\cap[b]\ne 0) \iff \left( \exists a\in [a] \land \iff \exists b\in [b]: a\sim b \right) \}$

Tal como muestra la definición anterior el conjunto cociente es un subconjunto del conjunto de partes de K.

Lema de abstracción

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Este conjunto es una partición de K, es decir: K está formado por el conjunto de todas las clases de equivalencia {a} de la relación, que son conjuntos disjuntos entre sí (es decir, no se superponen):

1. para cualquiera dos a_i,a_j no relacionados tenemos: $[a_i]\cap[a_j]=\emptyset$;
2. la unión de todos integra al total: $\bigcup_s[a_s]=K$

Esto es: las clases de equivalencia no tienen elementos en común y la unión de todas ellas rellena K, es igual al conjunto K completo.

Lo reciproco también es cierto: Dada una partición de un conjunto existe una relación de equivalencia en él de tal manera que las clases de equivalencia coinciden con los componentes de la partición

Las ideas enunciadas en los dos párrafos previos constituyen el lema denominado como Lema de abstracción, pilar de entrada al método abstracto matemático.

Es también conocido con el calificativo teorema fundamental de las relaciones de equivalencia

El conjunto cociente se representa: A/R={A1,A2,A3....An}

Ejemplos

• La igualdad entre los elementos de un conjunto.

• La relación de congruencia módulo M en el conjunto de los números enteros (i.e. $M\in\mathbb{Z}$), donde se define: a∼b si y sólo si $a - b\,$ es múltiplo de M.

Esta relación es de equivalencia porque:

• Es reflexiva: a - a = 0, que es múltiplo de M.
• Es simétrica: si a - b es múltiplo de M, entonces b - a = -(a - b) también es múltiplo de M.
• Es transitiva: sean k y l números enteros tales que a - b = M k y b - c = M l. Entonces, a - c = (a - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) y por tanto un múltiplo de M. En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasificación de los números enteros en pares e impares.

• Sea H un subgrupo de un grupo G. Definiendo para elementos del grupo a∼b si y sólo si $ab^{-1}\in H$, tendremos la relación de equivalencia llamada congruencia módulo H .

• Definiendo, para elementos del grupo, a∼b si y sólo si existe g en G talque gag ^{− 1} = b, se llama relación de conjugación. Sus clases: clases de conjugación. Las clases de equivalencia reciben el nombre de órbita o clase de conjugación.

Véase también

• Teoría del orden