Clasificación de discontinuidades


Clasificación de discontinuidades
Funcion continua 08.svg

Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

Contenido

Conceptos previos

Continuidad función 28.svg

Considérese una función y= f(x), de variable real x, definida para todo valor de x excepto posiblemente para un cierto valor x= a. Es decir, f(x) está definida para x < a y para x > a. Definamos también:

El límite por izquierda en a, es decir, el límite al aproximarse al valor x= a mediante valores menores de a, como:


   L^{-} =
   \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x)

El límite por derecha en a, es decir, el límite al aproximarse al valor x= a mediante valores mayores de a, como:


   L^{+} =
   \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x)

Si estos dos límites en el entorno del punto a existen y son iguales se dice que la función tiene límite en este punto.


   \left .
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L^{-} \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L^{+} \\ \\
      L^{-} = L^{+} = L
   \end{array}
   \right \}
   \quad
   \underset{x \to {a}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L

Si una función tiene límite en un punto y su valor coincide con el valor de la función en ese punto, entonces la función es continua en ese punto:


   \left .
   \begin{array}{r}
      \underset{x \to {a}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right \}
   \quad
   Continua

en cualquier otro caso es discontinua en ese punto.

Tipos de discontinuidades

La discontinuidad de una función puede ser clasificada en:


   Discontinuidad
   { \color{Red}
   \left \{
      \begin{array}{l}
         Evitable \\
         Esencial
            { \color{PineGreen}
            \left \{
               \begin{array}{l}
                  De \; primera \; especie
                  { \color{Blue}
                  \left \{
                     \begin{array}{l}
                        De \; salto \; finito \\
                        De \; salto \; infinito \\
                        Asint \acute{o} tica
                     \end{array}
                  \right .
                  }\\
                  
                  \\
                  De \; segunda \; especie
               \end{array}
            \right .
            } \\
      \end{array}
   \right .
   }

Discontinuidad evitable

Si una función tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:


   \left .
   \begin{array}{r}
      \underset{x \to {a}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      f(a) \ne L
   \end{array}
   \right \}
   \quad
   Discontinuidad \; evitable

o no existe:


   \left .
   \begin{array}{r}
      \underset{x \to {a}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \nexists \; f(a)
   \end{array}
   \right \}
   \quad
   Discontinuidad \; evitable

se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función, en ese punto, el valor del límite:


   \left .
   \begin{array}{r}
      \underset{x \to {a}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right \}
   \quad
   Continua

Discontinuidad esencial o no evitable

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

  1. Existen los límites laterales pero no coinciden.
  2. Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. Ver asíntota.
  3. No existe alguno de los límites laterales o ambos.

Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

De salto finito

Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:


   \left .
   \begin{array}{c}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L^{-} \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L^{+} \\ \\
      L^{-} \ne L^{+}
   \end{array}
   \right \}
   \quad
   Discontinuidad \; de \; salto \; finito

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:


   Salto =
   |\lim_{x\to {a}^{-}}f(x)-\lim_{x\to {a}^{+}}f(x)|
De salto infinito

Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:


   \left .
   \begin{array}{c}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty
   \end{array}
   \right \}
   \quad
   Discontinuidad \; de \; salto \; infinito

como en el caso de que el límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:


   \left .
   \begin{array}{c}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L
   \end{array}
   \right \}
   \quad
   Discontinuidad \; de \; salto \; infinito

Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.

Discontinuidad asintótica

Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:


   \left .
   \begin{array}{c}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty
   \end{array}
   \right \}
   \quad
   Discontinuidad \; asint \acute{o} tica

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.

Discontinuidad de segunda especie

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

Galería de discontinuidades

De salto finito

Continuidad función 26.svg Continuidad función 19.svg Continuidad función 24.svg Continuidad función 25.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L1 \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L2 \\ \\
      \nexists \; f(a)
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L1 \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L2 \\ \\
      f(a) = L1
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L1 \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L2 \\ \\
      f(a) = L2
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L1 \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L2 \\ \\
      f(a) \ne L1 \ne L2
   \end{array}
   \right .

De salto infinito

Continuidad función 08.svg Continuidad función 09.svg Continuidad función 13.svg Continuidad función 14.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty \\ \\
      \nexists \; f(a)
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty \\ \\
      \nexists \; f(a)
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .
Continuidad función 16.svg Continuidad función 21.svg Continuidad función 17.svg Continuidad función 22.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\  \\
      \nexists \; f(a)
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \nexists \; f(a)
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .

Discontinuidad asintótica

Continuidad función 06.svg Continuidad función 07.svg Continuidad función 11.svg Continuidad función 12.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty
   \end{array}
   \right .

Discontinuidad de segunda especie

Continuidad función 01.svg Continuidad función 02.svg Continuidad función 03.svg Continuidad función 04.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty \\ \\
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x)
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty \\ \\
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x)
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) \\ \\
      \nexists \; f(a)
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .
Continuidad función 05.svg Continuidad función 10.svg Continuidad función 15.svg Continuidad función 20.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = -\infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \nexists \; f(a)
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .

Discontinuidad evitable

Continuidad función 18.svg Continuidad función 27.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \nexists \; f(a)
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      f(a)\ne L
   \end{array}
   \right .

Caso de continuidad

Continuidad función 23.svg

Una función y= f(x) es continua en un punto a, si los límites por la derecha y la izquierda son iguales, y coinciden con el valor de la función en ese punto.


   \left .
   \begin{array}{r}
      \left .
      \begin{array}{l}
         \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L^{-} \\ \\
         \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L^{+} \\ \\
         L^{-} = L^{+} = L
      \end{array}
      \right \}
      \underset{x \to {a}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L
      \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right \}
   \underset{x \to {a}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = f(a)

Ejemplos

Función del ejemplo 1, f1(x): una discontinuidad evitable.
  • 1. Sea la función
f_1(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ para } x<1 \\ 0 & \mbox { para } x=1 \\ 2-x&  \mbox{ para } x>1\end{matrix}\right.

El punto x0 = 1 es una discontinuidad evitable. Esta función puede hacerse contínua simplemente redefiniendo la función en este punto para que valga f1(x0) = 1.

Función del ejemplo 2, f2(x): una discontinuidad por salto.
  • 2. Sea la función
f_2(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ para } x<1 \\ 0 & \mbox { para } x=1 \\ 2-(x-1)^2& \mbox{ para } x>1\end{matrix}\right.

El punto x0 = 1 es una discontinuidad por salto.

Función del ejemplo 3, f3(x): una discontinuidad esencial.
  • 3. Sea la función
f_3(x)=\left\{\begin{matrix}\sin\frac{5}{x-1} & \mbox{ para } x<1 \\ 0 & \mbox { para } x=1 \\ \frac{0.1}{x-1}& \mbox{ para } x>1\end{matrix}\right.

El punto x0 = 1 es una discontinuidad esencial, para lo cual hubiese bastado que uno de los dos límites laterales no exista o sea infinito (en este caso se cumple para ambos límites laterales: para el límite por izquierda y para el límite por derecha).

  • 4. Funciones que no son continuas en ninguna parte

Existen funciones que no son continuas en ningún punto. La más conocida es la función característica de Q, es decir la función que toma como valor 1 cuando x pertenece al conjunto de los racionales, y 0 si no.

Obviamente, no se puede dibujar su curva, que está constituida por una infinidad de puntos en la recta y= 0, y una infinidad (menor) de puntos en la recta y= 1.

  • 5. Discontinuidad evitable.

Una función presenta un punto de Discontinuidad evitable si en ese punto se cumple que:

  1. \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)
  2. \nexists f(a)

Pueden ser transformadas en otra función continua, dándole a f(a) el valor adecuado que la hace continua. Si modificamos una función obtenemos otra función, no la misma, por ello se dice que son evitables.

ejemplo:
Función Continua 005.svg
Función Continua 006.svg

La función:

 f(x)= \frac{x^2 - 4}{x - 2}

Presenta los siguientes límites por la izquierda y por la derecha:

 \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4
 \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4

pero la función para x= 2 no esta definida:

 f(2)= \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{0}{0}

en este un caso de discontinuidad evitable y además de un modo sencillo:

 f(x)= \frac{x^2 - 2^2}{x - 2}

lo que es lo mismo:

 f(x)= \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}

simplificando:

 f(x)= (x + 2) \,

esta función es continua para todo x de valor real y es equivalente a la primera función, excepto en que la primera es discontinua para x= 2.

  • 6. Discontinuidad de primera especie
Función Continua 022.svg

Una función presenta una discontinuidad de primera especie en un punto x1, si en este punto se cumple que:

 \lim_{x \to 1^-} f(x) \ne \lim_{x \to 1^+} f(x)

se produce un salto en los extremos.

Un ejemplo de función con discontinuidad de este estilo es por ejemplo:

f(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(kx)}{k}

Que es continua (y diferenciable) en todos los puntos, excepto en los puntos \scriptstyle x_n = 2n\pi con \scriptstyle n \in \mathbb{Z}.

  • 7. Discontinuidad de segunda especie
Función Continua 044.svg

Son las que tienen puntos para los que existe solo uno de los límites laterales o ninguno.

\nexists\lim_{x \to x1^-} f(x) o \nexists\lim_{x \to x1^+}f(x)

Por ejemplo la función  f(x) = \sqrt{x} . Ésta tiene una discontinuidad de segunda especie en 0 pues no existe el límite:

 \lim_{x \to 0^-} f(x)


  • 8. Discontinuidad asintótica
Función Continua 031.svg

La discontinuidad viene marcada por una asíntota vertical. Se cumple lo siguiente:

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \pm \infty
 \lim_{x \to 1^+} f(x) = \pm \infty

En la gráfica podemos ver la función:


   y =
   \cfrac{1}{x-x_1}

Donde x1 es un valor conocido, que presenta una asíntota vertical para x = x1


Véase también

Enlaces externos


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