Clotoide


Clotoide
Espiral de Cornu o clotoide ocoloide o clotoide (x,y)=(C(t), S(t)). La espiral converge al centro de los dos remolinos extremos de la imagen, a medida que t tiende a más infinito y menos infinito.
La curva que une la recta y la circunferencia es la clotoide. Se caracteriza por variar su curvatura desde la recta (curvatura = 0) hasta la de la circunferencia con curvatura dada.

La clotoide, también denominada radioide de arcos o espiral de Cornú en honor de Marie Alfred Cornu, es una curva tangente al eje de las abcisas en el origen y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella. Es por ello que en el punto origen de la curva, el radio es infinito.


La expresión matemática usual es:

{\rho} \cdot s = C

siendo

ρ el radio de curvatura
s el desarrollo o arco
C la constante de la espiral

Parametrización

La espiral de Cornu, también conocida como clotoide, es la curva cuyas ecuaciones paramétricas vienen dadas por S(t) y C(t). Puesto que:

C'(t)^2 + S'(t)^2 = \sin^2(t^2) + \cos^2(t^2) = 1\,

en esta parametrización el vector tangente tiene longitud unidad y t es la longitud de arco medida a partir de (0,0) (e incluyendo signo), de lo que se deduce que la curva tiene longitud infinita.

Aplicaciones

La espiral de Cornu tiene la propiedad de que su curvatura en cualquier punto es proporcional a la distancia a lo largo de la curva medida desde el origen. Esta propiedad hace que sea útil como curva de transición en el trazado de autopistas o ferrocarriles, puesto que un vehículo que siga dicha curva a velocidad constante tendrá una aceleración angular constante. Así dicha curva se utiliza para acuerdos planimétricos en trazados de carreteras y, especialmente, ferroviarios, con el fin de evitar discontinuidades en la aceleración centrípeta de los vehículos. La curva de transición que resulta tiene radio infinito en el punto tangente a la parte recta del trazado, y radio R en el punto de tangencia con la curva circular uniforme, de esta manera el tipo de curva más usual en carreteras es Tramo recto-Clotoide-circular-clotoide-tramo recto.

Igualmente las secciones de esta espiral clotoide son usadas comúnmente en montañas rusas por lo que algunas vueltas completas se conocen como loops "clotoides".

Historia

En los primeros ferrocarriles, debido a las bajas velocidades y los grandes radios utilizados en curvas hicieron posible que se ignorara cualquier tipo de transición entre curva y recta. Es a partir del siglo XIX cuando los incrementos de velocidad dan la necesidad de curvas que cambien gradualmente su curvatura. En 1862 Rankine en su obra "Civil Engineering" ya cita algunas curvas que podrían utilizarse, entre ellas una propuesta de 1828 ó 1829 llamada "curva de los senos" de William Gravatt y la curva de ajuste de William Froude de 1842 que aproximaba una curva elástica. La actual ecuación dada por Rankine es la de una curva cúbica, o polinómica de grado 3.


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