Colectividad canónica


Colectividad canónica

La colectividad canónica (o colectivo canónico) es una forma de plantear problemas en física estadística. Consiste en fijar en un sistema macroscópicamente el número de partículas, el volumen y la temperatura.

Fuera de la física propiamente dicha, el formalismo del colectivo canónico ha sido usado para predecir teóricamente la distribución de la renta, por ejemplo, la observación de Pareto de que las rentas altas se distribuyen de acuerdo con una ley potencial inversa, puede deducirse del formalismo canónico. La evidencia indica además, que las rentas altas de diversos lugares de Estados Unidos se hallan en equilibrio termodinámico.

Contenido

Planteamiento físico del problema

Imagina que tenemos un sistema físico en contacto con un baño térmico. Esto quiere decir que está en contacto con una gran masa a una temperatura dada, y por el principio cero de la termodinámica tendremos por tanto el sistema en equilibrio termodinámico con el baño. En estas condiciones, la energía no está totalmente determinada, sino que es una variable aleatoria que puede tomar una serie de valores. De esta forma, sólo podemos hablar de probabilidad de que el sistema adopte una energía determinada en función de esta temperatura.

El factor de Boltzmann

Se demuestra que la probabilidad de que un sistema a temperatura T esté en una configuración de energía E es proporcional al factor de Boltzmann:

P_E=\frac{e^{-E/k_BT}}{Z}

Donde:

P_E\, es la probabilidad buscada
E\, es la energía cuya probabilidad estamos buscando
k_B\, es la constante de Boltzmann
T\, es la temperatura.

La constante Z\, no es más que una constante de normalización impuesta para que la suma de las probabilidades de todos los estados sea uno. Se define trivialmente como:

Z:=Z(V,T)=\sum_\nu e^{-E_\nu(V)/k_BT}

donde \nu\, es un índice mudo que recorre todos los estados posibles del sistema con un número de partículas, volumen y temperatura dados.

La Función de Partición Canónica

La constante de normalización Z\, recibe el nombre de Función de Partición Canónica o simplemente Función de partición. Ésta es una función matemática de la temperatura, en número de partículas y el volumen. Se puede demostrar la fórmula siguiente, que relaciona la mecánica estadística con la termodinámica en el colectivo canónico:

F(T,V,N)=-k_BT\ \ln{Z(T,V,N)}

Esta ecuación nos da la energía libre de Helmholtz del sistema (una variable de estado termodinámica) en función de sus variables naturales, lo que supone un conocimiento termodinámico exhaustivo del sistema. Por tanto conocer la función de partición es resolver el problema estadístico.

Véase también


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