Combinación

Para otros usos de este término, véase Combinación (desambiguación).

En matemática, una combinación es un modo de seleccionar objetos de un conjunto, en donde (al contrario de una permutación) el orden en el cual se disponen los elementos no es importante. Informalmente, una combinación es un ordenamiento de n elementos tomados de k en k, con o sin repetición, llamada sucintamente «combinaciones de n en k».

Notación

Las combinaciones de n en k suelen escribirse, dependiendo de los autores, de alguna de las siguientes maneras:

$C(n,k)\,$, $^nC_k \$, $C_n^k$, $_n C_ k \$, $C^n_k\,$ o incluso $\binom nk$.

Definición formal

La combinación de n elementos, seleccionados en grupos de k elementos distintos, con $k\leq n$, está dada por la fórmula:

$\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k(k-1)\dots1} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

donde el símbolo $! \$ es el factorial. Si $k>n \$ hay cero combinaciones. Los números así obtenidos, se llaman números combinatorios.

Ejemplos

• Manos de póquer. Una mano de póquer se puede describir como una combinación de 5 en 52: de un mazo de cincuenta y dos cartas, el orden de las cinco cartas repartidas no cambia la mano (es decir que el orden no importa). En total, hay $\frac{52!}{5!(47)!} = 2,598,960$ manos distintas.

• Algunas propiedades del triángulo de Pascal pueden ser demostradas con la ayuda de los números combinatorios.

Combinación con repetición

El número de combinaciones con repetición de "k" objetos, tomados de un grupo de "n" objetos, es igual a

$C_{n+k-1}^k=\frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}$.

Dos sucesiones que pueden ser obtenidas una a partir de la otra por medio de una permutación, definen el mismo multiconjunto. El número de tales k-multiconjuntos también está dado por un coeficiente binomial:

$\binom{n + k - 1}{k} = \binom{n + k - 1}{n - 1}$.

Ejemplos

• Si se lanzan 10 dados simultáneamente, el resultado obtenido puede verse como una combinación de las «caras de cada dado», donde cada cara puede aparecer más de una vez.

• En el juego de dominó, un juego es una 2-combinación con repetición del conjunto E={blanca, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Véase también

• Permutación
• Combinatoria
• Coeficiente binomial
• Triángulo de Pascal
• Multiconjunto

Referencias

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Combinación» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 
• Weisstein, Eric W. «Combination» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Enlaces externos

• Combinaciones y Permutaciones [1]
• Video: Introducción a la combinatoria [2]