Combinatoria

Combinatoria

La combinatoria es una rama de la matemática perteneciente al área de matemáticas discretas que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas.

Contenido

Áreas de la combinatoria

No existe una clasificación tajante de lo que constituye una subárea, sino que todas comparten cierto grado de traslape entre sí, al igual que con otras ramas de la matemática discreta. Diferentes autores proponen varias divisiones de la combinatoria por lo que cualquier listado es meramente indicativo. Por ejemplo, algunos autores consideran la teoría de gráficas como una subárea de la combinatoria, mientras que otros la consideran un área independiente.

Entre las subdivisiones más comunes se encuentran las siguientes.

Combinatoria enumerativa

La combinatoria enumerativa o enumeración estudia los métodos para contar (enumerar) las distintas configuraciones de los elementos de un conjunto que cumplan ciertos criterios especificados.

Esta fue una de las primeras áreas de la combinatoria en ser desarrollada, y como otras áreas más recientes se estudian sólo en cursos especializados, es común que se haga referencia a esta subárea cuando se menciona combinatoria en entornos escolares.

Ejemplo.

Considérese el conjunto S = {A,E,I,O,U}. Podemos imaginar que estos elementos corresponden a tarjetas dentro de un sombrero.

  • Un primer problema podría consistir en hallar el número de formas diferentes en que podemos sacar las tarjetas una después de otra (es decir, el número de permutaciones del conjunto).
Por ejemplo, dos formas distintas podrían ser: EIAOU o OUAIE.
  • Después, se puede preguntar por el número de formas en que se puede sacar sólo 3 tarjetas del sombrero (es decir, el número de 3-permutaciones del conjunto).
En este caso, ejemplos pueden ser IOU, AEI o EAI.
  • También se puede preguntar sobre cuáles son los posibles grupos de 3 tarjetas que se pueden extraer, sin dar consideración al orden en que salen (en otras palabras, el valor de un coeficiente binomial).
Aquí, consideraríamos AOU y UAO como un mismo resultado.
  • Otro problema consiste en hallar el número de formas en que pueden salir 5 tarjetas, una tras otra, pero en cada momento se regresa la tarjeta escogida al sombrero.
En este problema los resultados posibles podrían ser EIOUO, IAOEU o IEAEE.

La combinatoria enumerativa estudia las técnicas y métodos que permiten resolver problemas anteriores, así como otros más complejos, cuando el número de elementos del conjunto es arbitrario. De esta forma, en el primer ejemplo la generalización correspondiente es determinar el número de formas en que se pueden ordenar todos los elementos de un conjunto con n elementos, siendo la respuesta el factorial de n.

Combinatoria extremal

El enfoque aquí es determinar qué tan grande o pequeña debe ser una colección de objetos para que satisfaga una condición previamente establecida;

Ejemplo.

Considérese un conjunto S. con n elementos. A continuación se empieza a hacer un listado de subconjuntos de tal manera que cualquier pareja de subconjuntos del listado tenga algún elemento en común.

Para clarificar, sea S = {A,B,C,D} y un posible listado de subconjuntos podría ser

\{B, C\}, \{A, B\}, \{A, B, C, D\}, \{B, D\}, \ldots

Conforme aumenta el listado (y dado que hay una cantidad finita de opciones), el proceso se hace cada vez más complicado. Por ejemplo, no podríamos añadir el conjunto {A, D} al listado pues aunque tiene elementos en común con los últimos 3 subconjuntos del listado, no comparte ningún elemento con el primero.

La pregunta sobre qué tan grande puede hacerse el listado de forma que cualquier pareja de subconjuntos tenga un elemento en común es un ejemplo de problema de combinatoria extremal (o combinatoria extrema). La respuesta a este problema es que si el conjunto original tiene n elementos, entonces el listado puede tener como máximo 2n − 1 subconjuntos.

Véase también

Referencias

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Mira otros diccionarios:

  • Combinatoria — ► sustantivo femenino MATEMÁTICAS Parte de las matemáticas que estudia las diferentes maneras de agrupar los elementos de un conjunto, según unas determinadas reglas. * * * combinatoria f. Parte de las *matemáticas que estudia las combinaciones,… …   Enciclopedia Universal

  • combinatoria — {{#}}{{LM C45589}}{{〓}} {{[}}combinatoria{{]}} ‹com·bi·na·to·ria› {{《}}▍ s.f.{{》}} Véase {{C09403}}{{上}}combinatorio, combinatoria{{下}} …   Diccionario de uso del español actual con sinónimos y antónimos

  • COMBINATORIA Ars — vide supra Ars Combinatoria …   Hofmann J. Lexicon universale

  • Combinatoria poliédrica — La combinatoria poliédrica es una rama de las matemáticas, dentro de la combinatoria y la geometría discreta, que estudia los problemas de contar y de describir las caras de poliedros convexos y de politopos convexos de dimensiones más altas. La… …   Wikipedia Español

  • combinatòria — com|bi|na|tò|ri|a Mot Esdrúixol Nom femení …   Diccionari Català-Català

  • combinatoria — com·bi·na·tò·ria s.f. TS mat., ling. procedimento di raggruppamento di n oggetti in gruppi di k posti ciascuno Sinonimi: calcolo combinatorio. {{line}} {{/line}} DATA: av. 1952. ETIMO: der. di combinatorio …   Dizionario italiano

  • combinatoria — pl.f. combinatorie …   Dizionario dei sinonimi e contrari

  • Ars combinatoria — may refer to one of the following.*A logical method described by Gottfried Leibniz in his De Arte Combinatoria and attributed to Ramon Llull * Ars Combinatoria , a Canadian mathematical journal * Ars Combinatoria by mediaeval composer Francisco… …   Wikipedia

  • Optimización combinatoria — La optimización combinatoria es una rama de la optimización en matemáticas aplicadas y en ciencias de la computación, relacionada a la investigación de operaciones, teoría de algoritmos y teoría de la complejidad computacional. También está… …   Wikipedia Español

  • Lógica combinatoria — La lógica combinatoria es la lógica última y como tal puede ser un modelo simplificado del cómputo, usado en la teoría de computabilidad (el estudio de qué puede ser computado) y la teoría de la prueba (el estudio de qué se puede probar… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”