Convergencia absoluta

Convergencia absoluta

En matemáticas, una serie (o a veces una integral) de números se dice que converge absolutamente si la suma (o la integral) de los valores absolutos de los términos o integrandos es finita.

Contenido

Definición formal

Dada una serie:

\sum_{n=0}^\infty a_n se dice que es absolutamente convergente si la serie \sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|< \infty .

O dicho de otra manera, la segunda serie sea convergente.

Convergencia Absoluta y Convergencia

La convergencia absoluta implica convergencia, aunque la afirmación recíproca no es verdadera.

Supongamos que \sum_{n=0}^\infty |a_n| converge por hipótesis y que an < | an | , entonces por el Criterio de comparación, si | an | converge, an también lo hará.


Por propiedad del Valor Absoluto, es posible considerar:


-|a_n| \le a_n \le |a_n|


Sumamos | an | término a término en la desigualdad:


|a_n| - |a_n| \le a_n + |a_n| \le |a_n| + |a_n|


0 \le a_n + |a_n| \le 2|a_n| o sea:


Se aplica \sum_{n=0}^\infty miembro a miembro:


\sum_{n=0}^\infty 0 \le \sum_{n=0}^\infty a_n + |a_n| \le \sum_{n=0}^\infty 2|a_n|


Pero por hipótesis, 2\sum_{n=0}^\infty |a_n| converge, entonces por el Criterio de comparación, \sum_{n=0}^\infty a_n + |a_n| también lo hará. (1)


Ahora, se considera:


an = an + | an | − | an |


\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty [ a_n + |a_n| - |a_n| ]


\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty [ a_n + |a_n| ] - \sum_{n=0}^\infty |a_n|


\sum_{n=0}^\infty [ a_n + |a_n| ] converge por (1).
\sum_{n=0}^\infty |a_n| converge por hipótesis.


Entonces \sum_{n=0}^\infty a_n converge por ser diferencia de series convergentes.

Convergencia condicional

Si la serie \sum_{n=0}^\infty a_n es convergente pero no absolutamente convergente, entonces se dice que la serie es condicionalmente convergente. Esto sucede cuando \sum_{n=0}^\infty |a_n| es divergente.

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Mira otros diccionarios:

  • Convergencia absoluta — Dada una serie: se dice que es absolutamente convergente si la serie es convergente. Dicho de otra manera, la convergencia absoluta implica convergencia, aunque la afirmación recíproca no es verdadera. Sea entonces se cumple que: o sea: Como es… …   Enciclopedia Universal

  • Convergència Democràtica de Catalunya — (CDC) Presidente Jordi Pujol i Soley Secretario/a general Artur Mas i Gavarró Fundación 1978 Ideología política Centro derecha …   Wikipedia Español

  • insuficiencia absoluta de convergencia — Eng. Absolute insufficiency of convergence Situación en que, en ausencia de presbiopía, el punto próximo está a más de 11 cm de la línea basal intraocular o cuando resulta difícil alcanzar 30% de convergencia …   Diccionario de oftalmología

  • Serie convergente — En matemáticas, una serie se llama serie convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo se llama serie divergente. Contenido 1 Definición formal 2 Ejemplos 3 Convergencia absoluta …   Wikipedia Español

  • Fracción continua generalizada — Saltar a navegación, búsqueda En análisis complejo, una rama de las matemáticas, una fracción continua generalizada o fracción fractal es una generalización de una fracción continua en la cual los numeradores parciales y los denominadores… …   Wikipedia Español

  • Partidos políticos de España — Anexo:Partidos políticos de España Saltar a navegación, búsqueda Contenido 1 Partidos políticos 1.1 Partidos estatales con representación en las Cortes Generales 1.2 Partido …   Wikipedia Español

  • Elecciones generales de España de 2004 — ‹ 2000 •   • 2008 › Elecciones generales de 2004 350 escaños del Congreso de los Diputados 208 de 264 escaños del Senado para el período 2004 2008 …   Wikipedia Español

  • Política de México — Los Estados Unidos Mexicanos son una democrática, federal y laica cuyo gobierno está basado en un sistema presidencial o congresual en el que el presidente de México es tanto el jefe de Estado como el jefe de gobierno, en un sistema… …   Wikipedia Español

  • Elecciones generales de España de 2008 — ‹ 2004 •   • 2011 › Elecciones generales de 2008 350 escaños del Congreso de los Diputados 208 de 264 escaños del Senado para la IX Legislatura …   Wikipedia Español

  • Historia contemporánea de España — La promulgación de la Constitución de 1812, obra de Salvador Viniegra (Museo de las Cortes de Cádiz). Historia contemporánea de España es la disciplina historiográfica y el periodo histórico de la historia de España que corresponde a la Edad… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”