Completando el cuadrado

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Completando el cuadrado es una técnica de álgebra elemental que dada una expresión de la forma:

x² + bx

es reemplazada por una de la forma

(x + c)² + d

Específicamente, sea:

$\begin{matrix}ax^2 + bx + c &=& a\left(x^2 + \frac{bx}{a}\right) +c \\ \\ &=& a\left(x^2 + \frac{bx}{a} + \left(\frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}\right)\right) + c \\ \\ &=& a\left(x^2+2\frac{bx}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)-\frac{b^2}{4a} +c \\ \\ &=& a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a} + c \end{matrix}$

Completando el cuadrado se reduce cualquier problema de polinomio cuadrático a uno de polinomio cuadrado perfecto más una constante.

Perspectiva geométrica

Considere completando el cuadrado para la siguiente ecuación:

$x^2 + bx = a.\,$

Puesto que x² representa el área de un cuadrado con lados de longitud x, y bx representa el área de un rectángulo con lados b y x, el proceso de completando el cuadrado puede ser visto como una manipulación visual de rectángulos.

Intentos simples de combinar x² y bx en un cuadrado mayor resulta en una esquina que falta. El término (b/2)² añadido a cada lado de la ecuación de arriba es precísamente el área de la esquina que falta, de lo que deriva la terminología "completando el cuadrado".[1]

Ejemplo

Un ejemplo simple es:

x² + 6x = x² + 6x + 9 − 9 = (x + 3)² − 9

Aplicación en cálculo integral. Ahora, considérese el problema de encontrar esta antiderivada:

$\int\frac{dx}{9x^2-90x+241}.$

El denominador es

9x² − 90x + 241 = 9(x² − 10x) + 241.

Sumando (10/2)² = 25 a x² - 10x da un cuadrado perfecto x² - 10x + 25 = (x - 5)². De lo que resulta

9(x² − 10x) + 241 = 9(x² − 10x + 25) + 241 − 9(25) = 9(x − 5)² + 16.

Sea la integral

$\int\frac{dx}{9x^2-90x+241}=\frac{1}{9}\int\frac{dx}{(x-5)^2+(4/3)^2}=\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{4}\arctan\frac{3(x-5)}{4}+C.$

Véase también

• ecuación cuadrática
• trinomio cuadrado perfecto

Enlaces externos

• Completando el cuadrado
• Completando el cuadrado (Video en Youtube)