Congruencia

Congruencia

Saltar a navegación, búsqueda

Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros a y b tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural m, llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación

$a \equiv b \pmod m$

que se expresa diciendo que a es congruente con b módulo m. Las siguientes expresiones son equivalentes:

• a Es congruente con b módulo m

$a\equiv b\pmod m$

• El resto de a entre m es el resto de b entre m

$a\; \bmod \; m = b \; \bmod \; m$

• m divide exactamente a la diferencia de a y b

$m\mid a-b$

• a se puede escribir como la suma de b y un múltiplo de m

$\exists k\in \mathbb{Z}\quad a=b+km$

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo p y cada entero a no divisible por p tenemos la congruencia:

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.$

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuales son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia $x^2 - 5 \equiv 0 \pmod{11}$, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por $x \equiv 4$ y $x\equiv 7 \pmod{11}$, es decir x puede ser cualquier entero de las sucesiones 11k + 4 y 11k + 7. Contrariamente la congruencia $x^2-2 \equiv 0 \pmod{11}$, no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

Propiedades

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad, por citar algunas:

• La congruencia para un módulo fijo m es una relación de equivalencia ya que se verifican las propiedades:

1. reflexividad: $a \equiv a \pmod m$
2. simetría: si $a \equiv b \pmod m$ entonces también $b \equiv a \pmod m$
3. transitividad: si $a \equiv b \pmod m$ y $b \equiv c \pmod m$ entonces también $a \equiv c \pmod m$.

• Si a es coprimo con m y $a \equiv b \pmod m$, entonces b también es coprimo con m.

• si $a \equiv b \pmod m$ y k es un entero entonces también se cumple

$a+k \equiv b+k \pmod m$ y:$ka \equiv kb \pmod m$

• si además k es coprimo con m, entonces podemos encontrar un entero k ^{− 1}, tal que

$kk^{-1} \equiv 1 \pmod m$

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

$\frac{a}{k} \equiv \frac{b}{k} \pmod m$

donde por definición ponemos a / k = ak ^{− 1}.

• Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:

$a\equiv b \pmod m$ y $c \equiv d \pmod m$

podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

$a+c \equiv b + d \pmod m$ y $ac \equiv bd \pmod m$

Entre Polígonos

Se define la congruencia entre dos polígonos como una correspondencia biunívoca entre sus vértices tal que sus ángulos correspondientes sean congruentes (tengan la misma medida) y los lados correspondientes sean también congruentes (tengan la misma longitud).

Véase también

• aritmética modular
• resolución de congruencias
• clase de congruencia

Obtenido de "Congruencia"