- Congruencia
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Congruencia
Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros a y b tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural m, llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación
que se expresa diciendo que a es congruente con b módulo m. Las siguientes expresiones son equivalentes:
- a Es congruente con b módulo m
- El resto de a entre m es el resto de b entre m
- m divide exactamente a la diferencia de a y b
- a se puede escribir como la suma de b y un múltiplo de m
El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo p y cada entero a no divisible por p tenemos la congruencia:Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuales son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia
, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por
y
, es decir x puede ser cualquier entero de las sucesiones 11k + 4 y 11k + 7. Contrariamente la congruencia
, no tiene solución.
La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.
Propiedades
La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad, por citar algunas:
- La congruencia para un módulo fijo m es una relación de equivalencia ya que se verifican las propiedades:
- reflexividad:
- simetría: si
entonces también
- transitividad: si
y
entonces también
.
- Si a es coprimo con m y
, entonces b también es coprimo con m.
- si
y k es un entero entonces también se cumple
y:
- si además k es coprimo con m, entonces podemos encontrar un entero k − 1, tal que
y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que
donde por definición ponemos a / k = ak − 1.
- Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:
y
podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias
y
Entre Polígonos
Se define la congruencia entre dos polígonos como una correspondencia biunívoca entre sus vértices tal que sus ángulos correspondientes sean congruentes (tengan la misma medida) y los lados correspondientes sean también congruentes (tengan la misma longitud).
Véase también
- aritmética modular
- resolución de congruencias
- clase de congruencia
Categorías: Aritmética modular | Relaciones
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