Conjetura de Andrica

Archivo:Andrica conjecture1.PNG

A_n para los 100 primeros números primos.

Archivo:Andrica conjecture2.PNG

A_n para los 200 primeros números primos.

Archivo:Andrica conjecture3.PNG

A_n para los 500 primeros números primos.

La conjetura de Andrica (por Dorin Andrica) es una conjetura sobre las diferencias entre números primos consecutivos^[1]

La conjetura establece que la desigualdad

$\sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n} < 1$

se cumple para todo n, donde p_n es el n-ésimo número primo. Si g_n = p_{n + 1} − p_n denota la n-ésima diferencia entre primos consecutivos, la conjetura de Andrica puede expresarse como

$g_n < 2\sqrt{p_n} + 1.$

Evidencia empírica

Imran Ghory usó datos de espacios entre primos muy grandes para mostrar que la conjetura es cierta para valores de n menores a 1.3002 x 10¹⁶.^[2]

El comportamiento de la función discreta $A_n = \sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n}$ se muestra en las gráficas de la derecha. Los valores más altos de A_n se producen para n = 1, 2, y 4, con

$A_4 \approx$ 0,670873 ...,

sin que se produzca un valor más grande entre los primeros 10⁵ primos. Dado que la función de Andrica decrece asintóticamente a medida que n crece, es necesario que se vayan produciendo diferencias entre primos consecutivos cada vez mayores para generar valores altos de A_n cuando n se hace grande. Por lo tanto parece muy probable que la conjetura sea verdad.

Generalizaciones

Como una generalización de la conjetura de Andrica, puede considerarse la siguiente ecuación:

$p _ {n+1} ^ x - p_ n ^ x = 1,$

donde p_n es el n-ésimo primo y n puede ser cualquier entero positivo.

Es fácil ver que la solución más grande posible x se tiene para n = 1, cuanto x_máx=1. Para la solución más pequeña posible x se ha conjeturado que es x_mín $\approx$ 0.567148 ... , que se produce cuando n = 30 y se conoce como la constante de Smarandache.^[3]

Esta conjetura puede considerarse como una conjetura de desigualdad, la generalización de la conjetura de Andrica:

$p _ {n+1} ^ x - p_ n ^ x < 1$ para x < x_min .

Véase también

• Conjetura de Cramér

Referencias y notas

1. ↑ D. Andrica, Note on a conjecture in prime number theory. Studia Univ. Babes-Bolyai Math. 31 (1986), no. 4, 44--48.
2. ↑ Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, Inc., 2005, p.13.
3. ↑ M.L.Perez. Five Smarandache Conjectures on Primes

Enlaces externos

• Andrica's Conjecture at PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture at PlanetMath