Conjetura de Elliott–Halberstam

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En teoría de números, la conjetura de Elliott–Halberstam es una conjetura acerca de la distribución de primos es progresiones aritméticas. Este tiene muchas aplicaciones en teoría de cribas y es atribuido a Peter D. T. A. Elliott y Heini Halberstam.

Establecer esta conjetura requiere cierta notación. Sea π(x) el número de primos menores o iguales a x. Sea q es un número entero positivo y a es coprimo a q, tome

$\pi(x;q,a)\,$

como el número de primos menores o iguales a x los cuales son iguales a a modulo q. El teorema de Dirichlet en progresiones aritméticas nos dice que

$\pi(x;q,a) \sim \frac{\pi(x)}{\phi(q)}$

cuando a es coprimo a q. Si definimos la función error

$E(x;q) = \max_{(a,q) = 1} \left|\pi(x;q,a) - \frac{\pi(x)}{\phi(q)}\right|$

donde el máximo es tomado sobre todos los a coprimo a q, entonces la conjetura de Elliott–Halberstam conjecture asegura que para todo θ < 1 y A > 0 existe una constante C > 0 tal que

$\sum_{1 \leq q \leq x^\theta} E(x;q) \leq \frac{C x}{\log^A x}$

para todo x > 2.

Esta conjetura fue probada para todo θ < 1/2 por Enrico Bombieri y A. I. Vinogradov (el Bombieri–Vinogradov theorem, algunas veces conocido como el "teorema de Bombieri"); este resultado es ya bastante util, siendo una de las diferentes formas de la hipótesis de Riemann, Terence Tao llamó a esta conjetura como "Una especie de hipótesis de Riemann super-generalizada para teoría de cribas".^[1] Se sabe que la conjetura falla en el punto θ = 1.

La conjetura de Elliott–Halberstam tiene muchas consecuencias. Uno de los resultados más recientes fue logrado por Dan Goldston, János Pintz, y Cem Yildirim [2] (véase [3], [4]), los cuales mostraron (asumiendo esta conjetura) que existen infinitos pares de primos los cuales difieren en a lo sumo en 16.

Véase

• Teorema de Barban–Davenport–Halberstam
• Teorema de Barban–Montgomery
• Teoría de cribas

Citas

1. ↑ Terence Tao. Open question: The parity problem in sieve theory [1]

Referencias

1. E. Bombieri, On the large sieve, Mathematika 12 (1965), 201–225
2. P.D.T.A. Elliot and H. Halberstam, A conjecture in prime number theory, Symp. Math. 4 (1968-1969), 59-72.
3. A.I. Vinogradov, The density hypothesis for Dirichlet L-series (in Russian), Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 29 (1965), 903-934.