Conjetura débil de Goldbach

En teoría de números, la conjetura débil de Goldbach afirma que:

Todo número impar mayor que 7 puede expresarse como suma de tres números primos impares.

o, de forma equivalente,

Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres números primos.

(Se puede emplear el mismo número primo más de una vez en esta suma.)

Esta conjetura recibe el nombre de "débil" porque la conjetura fuerte de Goldbach sobre la suma de dos números primos, si se demuestra, demostraría automáticamente la conjetura débil de Goldbach. Esto es así porque si cada número par mayor que 4 es la suma de dos primos impares, se puede añadir tres a los números pares mayores que 4 para producir los números impares mayores que 7.

Esta conjetura aún no ha sido demostrada, pero se han conseguido avances importantes. En 1923, Hardy y Littlewood mostraron que, suponiendo una cierta generalización de la hipótesis de Riemann, la conjetura débil de Goldbach es cierta para todos los números impares suficientemente grandes. En 1937, el matemático ruso Iván Matvéyevich Vinográdov fue capaz de eliminar la dependencia de la hipótesis de Riemann y demostró directamente que todos los números impares suficientemente grandes pueden escribirse como suma de tres primos.

Aunque Vinográdov no pudo determinar lo que significaba "suficientemente grande" con exactitud, su alumno K. Borodzin demostró que 3^14.348.907 es una cota superior para el concepto de "suficientemente grande". Este número tiene más de seis millones de dígitos, así que comprobar la conjetura en cada número por debajo de esta cota sería imposible. Afortunadamente, en 1989 Wang y Chen redujeron esta cota a 10^43.000. Esto significa que si cada uno de los números impares menores que 10^43.000 resulta ser la suma de tres números primos, entonces la conjetura débil de Goldbach quedará demostrada. Sin embargo, aún se debe reducir bastante esta cota antes de poder comprobarse cada número por debajo de la misma.

En 1997, Deshouillers, Effinger, Te Riele y Zinoviev mostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica la conjetura débil de Goldbach. Este resultado combina una afirmación general válida para números mayores que 10²⁰ con una búsqueda minuciosa informatizada de los casos pequeños.

Enlaces externos y referencias

• Deshouillers, Effinger, Te Riele y Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol 3, pp. 99-104 (1997). Disponible en http://www.ams.org/era/1997-03-15/S1079-6762-97-00031-0/S1079-6762-97-00031-0.pdf