Conjunto contorno

En matemática, un conjunto contorno generaliza y formaliza las nociones diarias de:

• Todo lo superior a algo
• Todo lo superior o equivalente a algo
• Todo lo inferior a algo
• Todo lo inferior o equivalente a algo

Definiciones

Formalmente, dada una relación matemática de pares de elementos de un conjunto X :$\succcurlyeq~\subseteq~X^2$ y un elemento x de X:

El conjunto contorno superior de x es el conjunto de todos los y que están relacionados con x:

$\left\{ y~/~y\succcurlyeq x\right\}$

El conjunto contorno inferior de x es el conjunto de todos los y tal que x está relacionado con ellos:

$\left\{ y~/~x\succcurlyeq y\right\}$

El conjunto contorno superior estricto de x es el conjunto de todos los y que están relacionados con x, sin contar el mismo x:

$\left\{ y~/~(y\succcurlyeq x)\land\lnot(x\succcurlyeq y)\right\}$

El conjunto contorno inferior estricto de x es el conjunto de todos los y tal que x está relacionado con ellos, sin contar aquellos que están relacionados de este modo con el mismo x:

$\left\{ y~/~(x\succcurlyeq y)\land\lnot(y\succcurlyeq x)\right\}$

La expresión formal de las dos últimas definiciones puede simplificarse si definimos la siguiente relación

$\succ~=~\left\{ \left(a,b\right)~/~\left(a\succcurlyeq b\right)\land\lnot(b\succcurlyeq a)\right\}$

donde a está relacionado con b pero b no está relacionado con a, en cuyo caso el conjunto contorno superior estricto de x es

$\left\{ y~/~y\succ x\right\}$

y el conjunto contorno inferior estricto de x es

$\left\{ y~/~x\succ y\right\}$

Conjunto contorno de una función

En el caso de una función f considerada en términos de la relación $\triangleright$, la referencia a los conjuntos contornos de la función es implícita a los conjuntos contornos de la relación implicada

$(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow~[f(a)\triangleright f(b)]$

Ejemplos

Aritmética

Dados un número real x y la relación $\ge$, entonces:

• El conjunto contorno superior de x es el conjunto de números que son mayores o iguales a x,
• El conjunto contorno superior estricto de x es el conjunto de números mayores que x,
• El conjunto contorno inferior de x es el conjunto de números menores o iguales a x, y
• El conjunto contorno inferior estricto de x es el conjunto de números menores que x.

Considerando la relación más general

$(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow~[f(a)\ge f(b)]$

Entonces

• El conjunto contorno superior de x es el conjunto de todos los y tales que $f(y)\ge f(x)$,
• El conjunto contorno superior estricto de x es el conjunto de todos los y tales que f(y) > f(x),
• El conjunto contorno inferior de x es el conjunto de todos los y tales que $f(x)\ge f(y)$, y
• El conjunto contorno inferior estricto de x es el conjunto de todos los y tales que f(x) > f(y).

Técnicamente hablando también es posible definir conjuntos contornos en términos de la relación

$(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow~[f(a)\le f(b)]$

aunque tales definiciones tenderían a confundir la comprensión de ellos.

Para una función real f, la referencia a los conjuntos contornos de la función es implícita a los conjuntos contornos de la relación

$(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow~[f(a)\ge f(b)]$

Note que los argumentos de f podrían ser vectores, y que la notación usada podría ser

$[(a_1 ,a_2 ,\ldots)\succcurlyeq(b_1 ,b_2 ,\ldots)]~\Leftarrow~[f(a_1 ,a_2 ,\ldots)\ge f(b_1 ,b_2 ,\ldots)]$

Economía

En economía, el conjunto X puede interpretarse como un conjunto de bienes y servicios o de posibles salidas, la relación $\succ$ como preferencias estrictas, y la relación $\succcurlyeq$ como preferencias débiles. Así,

• El conjunto contorno superior de x es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas por lo menos tan deseadas como x,
• El conjunto contorno supeior estricto de x es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas más deseadas que x,
• El conjunto contorno inferior de x es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas no más deseadas que x, y
• El conjunto contorno inferior estricto de x es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas menos deseadas que x.

Tales preferencias podrían representarse por una función utilidad u, en cuyo caso

• El conjunto contorno superior de x es el conjunto de todos los y tales que $u(y)\ge u(x)$,
• El conjunto contorno superior estricto de x es el conjunto de todos los y tales que u(y) > u(x),
• El conjunto contorno inferior de x es el conjunto de todos los y tales que $u(x)\ge u(y)$, y
• El conjunto contorno inferior estricto de x es el conjunto de todos los y tales que u(x) > u(y).

Complementariedad

Si $\succcurlyeq$ es un ordenación total de X, entonces el complemento del conjunto contorno superior es el conjunto contorno inferior estricto:

$X^2\backslash\left\{ y~/~y\succcurlyeq x\right\}=\left\{ y~/~x\succ y\right\}$

$X^2\backslash\left\{ y~/~x\succ y\right\}=\left\{ y~/~y\succcurlyeq x\right\}$

y el complemento del conjunto contorno superior estricto es el conjunto contorno inferior:

$X^2\backslash\left\{ y~/~y\succ x\right\}=\left\{ y~/~x\succcurlyeq y\right\}$

$X^2\backslash\left\{ y~/~x\succcurlyeq y\right\}=\left\{ y~/~y\succ x\right\}$

Véase también

• Epigrafo
• Hipografo

Referencias

• Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, y Jerry R. Green; Microeconomic Theory (LCC HB172.M6247 1995), p43. ISBN 0-19-507340-1 (cloth) ISBN 0-19-510268-1 (paper)