Conjunto de Mandelbrot


Conjunto de Mandelbrot
Representación matemática del conjunto de Mandelbrot como subconjunto del plano complejo. Los puntos del conjunto se muestran en negro. Obsérvese cómo -1 pertenece al conjunto mientras que 1 no.
Representación del conjunto de Mandelbrot mediante el algoritmo de tiempo de escape.

El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales y el más estudiado. Se conoce así en honor al matemático Benoît Mandelbrot, que investigó sobre él en la década de los setenta del siglo XX.

Este conjunto se define así, en el plano complejo:
Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por inducción:

 \left \{
\begin{matrix}
  z_0     & = & 0 \qquad \ & \mbox{(término inicial)} \qquad  \\
  z_{n+1} & = & z_n^2 + c  & \mbox{(relación de inducción)}
\end{matrix} \right.

Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo.

Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26… que diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot.

En cambio, si c = -1 obtenemos la sucesión 0, -1, 0, -1,… que sí es acotada, y por tanto, -1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot.

A menudo se representa el conjunto mediante el algoritmo de tiempo de escape. En ese caso, los colores de los puntos que no pertenecen al conjunto indican la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión correspondiente a dicho punto. En la imagen de ejemplo, observamos el rojo oscuro indica que al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto mientras que el blanco informa de que se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se puede calcular un sinfín de valores, es preciso poner un límite y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados entonces se considera que el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisión de la imagen.

Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2, es decir, x2 + y2 = 4 no pertenecen al conjunto. Por lo tanto basta encontrar un solo término de la sucesión que verifique |zn| > 2 para estar seguro que c no está en el conjunto.

Contenido

Introducción: explorando la autosimilitud

Plano sobre el que exploraremos la autosimilitud.

Una propiedad fundamental de los fractales es la autosimilitud o autosemejanza, que se refiere a una cierta invariabilidad con relación a la escala, o dicho de otro modo, al acercarse a ciertas partes de la imagen reaparece en miniatura la imagen total. Un mismo motivo aparece a distintas escalas, a un número infinito de escalas.
Veámoslo más en detalle, a partir del plano siguiente (derecha):

Cuadro verde ampliado.


Al agrandar el cuadro verde, se obtiene la imagen de la izquierda, donde:

  • Salta a la vista que la bola negra a es una reducción exacta de la bola A. La protuberancia a la izquierda de a también es una reducción exacta de a, y el proceso sigue indefinidamente.
  • También se puede observar que la bola b es una reducción de A (una reducción combinada con una rotación, es decir que b se obtiene de A mediante una semejanza). Mirando mejor, se nota un sinfín de protuberencias semejantes a A.
Cuadro azul ampliado.



Volviendo al plano, escojamos esta vez el cuadro azul oscuro situado en el extremo izquierdo del plano. Al agrandarlo, obtenemos (derecha):

Su parecido a la imagen inicial es obvio. El proceso se puede repetir un sinfín de veces, empezando por agrandar la pequeña mancha negra a la izquierda del cuadro.


Cuadro violeta ampliado.
Ampliación de la mancha que aparece en el cuadro violeta.




Ahora, ampliemos el cuadro violeta del plano (imagen izquierda):


En esta imagen aparece una mancha arriba a la izquierda que tiene la misma forma que la imagen inicial. Al mirar más de cerca, se obtiene (derecha):

Y una vez más, el parecido salta a la vista.



Cuadro azul claro ampliado.



Ahora, agrandemos el cuadro azul claro de la derecha del plano:

Ampliación del detalle del cuadro blanco.

Acerquémonos al cuadro blanco de la última imagen:

Aquí se nota una ligera deformación de la figura inicial. Sin embargo, esta imagen sigue siendo isomorfa a la inicial. Y claro, alrededor de cada clon de la forma inicial existen otros clones minúsculos, en las mismas posiciones relativas que en la figura global. El proceso no tiene fin.







Otra representación
Mandelbrot.png

En esta imagen, el conjunto es, naturalmente, el mismo, pero las líneas de nivel (que separan los colores, fuera del conjunto) no son idénticas. Esto se debe a que no se ha empleado el mismo criterio de divergencia: en esta imagen es realmente |zn| > 2, mientras que en las anteriores era |zn| > 10, por razones estéticas, ya que así se obtiene una imagen inicial menos oscura.

Historia

La teoría básica sobre la iteración de funciones complejas fue desarrollada por Julia y Fatou en la década de los años 1910. La forma extraordinariamente intrincada de conjuntos relacionados con estas iteraciones se reveló en el momento en que los gráficos por ordenador fueron lo suficientemente avanzados. Las primeras imágenes del conjunto, algo burdas, de Robert Brooks y Peter Matelski, datan de 1978.[1]

Mandelbrot estudió el espacio de parámetros de polinomios cuadráticos en un artículo aparecido en 1980 y despertó el interés global por el mismo.[2]

El estudio matemático riguroso de este conjunto realmente comenzó con el trabajo de los matemáticos Adrien Douady y John H. Hubbard,[3] quienes demostraron muchas de sus propiedades fundamentales y nombraron el conjunto en honor de Mandelbrot. Entre otras propiedades, probaron que es un conjunto conexo y formularon la conjetura MLC, que formula la creencia de que el conjunto de Mandelbrot es localmente conexo.

Relación con los conjuntos de Julia

Existe otra manera de definir este conjunto: es el conjunto de los complejos c para los que el conjunto de Julia asociado a fc(z) = z² + c es conexo.

Propiedades

Propiedades topológicas

El conjunto de Mandelbrot es compacto, conexo y su complemento también es conexo. Su interior consta de un conjunto numerable de componentes.

Su frontera tiene dimensión topológica 1 pero dimensión de Hausdorff 2, la máxima posible al ser subconjunto del plano.

Referencias

  1. Robert Brooks and Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), in "Riemann Surfaces and Related Topics", ed. Kra and Maskit, Ann. Math. Stud. 97, 65–71, ISBN 0-691-08264-2
  2. Benoît Mandelbrot, Fractal aspects of the iteration of z\mapsto\lambda z(1-z)\, for complex \lambda,z\,, Annals NY Acad. Sci. 357, 249/259
  3. Adrien Douady and John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)

Véase también

Enlaces externos


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