Conjunto de nivel

Sea H un conjunto y $f:H\to \mathbb{R}$ un campo escalar sobre H. El conjunto de nivel C_k para la función f es el subconjunto de puntos x en H para los cuales f(x) = k.

En símbolos:

$C_k = \left\{ x \in H\ |\ f(x) = k \right\}.$

Un conjunto de nivel puede coincidir con el conjunto vacío.

• Si $H=\mathbb{R}^2$ los conjuntos de nivel son en general curvas y se las llama curvas de nivel.
• Si $H=\mathbb{R}^3$ los conjuntos de nivel suelen ser superficies y se les llama superficies de nivel.
• Para dimensiones mayores, no se cuenta con una representación gráfica de estos conjuntos

Aplicaciones

• En cartografía, las curvas de nivel unen los puntos de un mapa que se encuentran a la misma altura (cota). Cuando representan los puntos de igual profundidad en el océano y en el mar, así como en lagos de grandes dimensiones, se denominan isóbatas
• En meteorología, las curvas de nivel se suelen usar para unir puntos que tienen la misma presión (isobaras).
• En electromagnetismo, las curvas o superficies de nivel pueden representar conjuntos que tienen un mismo potencial.

Conjuntos de nivel y gradientes

Un ejemplo de curvas de nivel (azul) y curvas integrales (rojo)

Si el conjunto H coincide con $\mathbb{R}^n$ y el campo escalar f es de clase C¹ entonces los vectores gradiente del campo escalar son ortogonales a los conjuntos de nivel en el siguiente sentido: Sea C_k un conjunto de nivel y $c:I\subset\mathbb{R}\to C_k$ una curva diferenciable. Los vectores gradiente del campo f sobre la curva, son ortogonales a los vectores velocidad de la curva.

En efecto, para todo t en I,

$f(c(t))=k\,.$

Derivando respecto de t se obtiene (usando la derivada de una composición de funciones)

$\nabla f(c(t))\cdot c'(t) = 0$

En particular, las curvas integrales asociadas al campo vectorial generado por el gradiente de f son "ortogonales" a los conjuntos de nivel asociadas a dicha función.

En física, estas curvas integrales se las suele llamar líneas de campo o líneas de fuerza, según el contexto.