Conjunto numerable

En matemáticas, un conjunto es numerable o contable cuando sus elementos pueden ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales o un subconjunto finito del mismo.

Algunos autores toman una definición alternativa de conjunto numerable que incluye también a los conjuntos finitos. Esta definición establece que un conjunto es numerable cuando existe correspondencia uno a uno entre el conjunto y algún subconjunto de los números naturales y es por esto que en ocasiones se especifica conjunto infinito numerable o a lo sumo numerable para evitar ambigüedades, refiriendo la primera expresión únicamente a conjuntos infinitos y la segunda permitiendo conjuntos finitos.

Georg Cantor fue el primero que hizo uso de este concepto en un artículo publicado en 1874 que marcaría el nacimiento de la teoría de conjuntos.^[1] Sin embargo, su importancia se manifiesta en numerosos campos de las matemáticas, en particular en el análisis, en teoría de la medida y en topología.

Ejemplos

$\begin{array}{|rcr|} \hline n & \longmapsto & p \\ \hline 1 & \longmapsto & 2 \\ 2 & \longmapsto & 0 \\ 3 & \longmapsto & 4 \\ 4 & \longmapsto & -2 \\ 5 & \longmapsto & 6 \\ 6 & \longmapsto & -4 \\ 7 & \longmapsto & 8 \\ 8 & \longmapsto & -6 \\ \cdots & \longmapsto & \cdots \\ \end{array}$

• El conjunto de todos los números pares, es numerable porque la función:

$f(n) = \begin{cases} n + 1 & \mbox{si } n \text{ es impar}\\ 2 - n & \mbox{si } n \text{ es par} \end{cases}$

es una biyección: cada número natural corresponde a un único número par y viceversa.

• El conjunto $\mathbb{Z}$ de todos los enteros también es numerable.
• El conjunto $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ es numerable.
• Como consecuencia del ejemplo anterior, el conjunto de todos los racionales también es numerable.
• Por inducción puede probarse que $\mathbb{N}^k, \mathbb{Z}^k, \mathbb{Q}^k$ son numerables para cualquier número entero k.

Introducción

Definiciones

De manera más formal, un conjunto C se dice que es numerable cuando es equipotente con el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$, es decir, cuando existe una biyección de $\mathbb{N}$ con C. Algunos autores extienden la definición para incluir los conjuntos finitos, y bajo esta extensión un conjunto numerable es aquel que se puede poner en biyección con un subconjunto de los números naturales. Esta extensión será designada en este artículo con la expresión «conjunto a lo sumo numerable» o «conjunto finito o numerable».^[2] En caso de que pueda haber ambigüedad, siempre se puede especificar que un conjunto equipotente con $\mathbb{N}$ es un «conjunto infinito numerable».

Por el contrario, un conjunto (infinito) no numerable es un conjunto infinito que no es equipotente con $\mathbb{N}$. El argumento de la diagonal de Cantor permite demostrar que el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ y el conjunto de las partes de $\mathbb{N}$ no son numerables, y asimismo muestra la existencia de numerosos infinitos distintos de los anteriores y que tampoco son numerables.

Teorema de Cantor

Artículo principal: Teorema de Cantor

Un conjunto que contiene un subconjunto infinito numerable es necesariamente infinito. A partir de los axiomas de la teoría de conjuntos, en particular el axioma de elección, se puede mostrar que el infinito numerable es el infinito más pequeño en el sentido de que todo conjunto infinito contiene un conjunto infinito numerable. Se puede entonces caracterizar un conjunto infinito como un conjunto que contiene un subconjunto numerable, definición que tiene aplicaciones en teoría de la cardinalidad.

El cardinal de $\mathbb{N}$, y por tanto el cardinal de cualquier conjunto numerable, se denota $\aleph_0$ (alef cero). Es el primero de los ordinales transfinitos álef, que representan todos los cardinales dado el axioma de elección.

Artículo principal: Alef cero

Origen del término

La noción de numerabilidad fue introducida por Georg Cantor en un artículo de 1874,^[3] Sobre una propiedad del sistema de todos los números algebraicos reales^[4] donde establece por una parte que el conjunto de números algebraicos reales (es decir, el conjunto de los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica con coeficientes enteros) es numerable,^[5] y por otra que el conjunto de todos los números reales no lo es, a partir de lo cual deduce inmediatamente la existencia de números trascendentes o no algebraicos, redescubriendo así un resultado de Liouville.

Su origen está ligado a la concepción del infinito en matemáticas. Hasta el descubrimiento de Cantor, el infinito era el infinito potencial, la posibilidad de continuar un proceso sin detenerse nunca. La comparación de conjuntos infinitos trae consigo la noción de infinito alcanzado, actual o completo: un conjunto infinito visto como un todo, un concepto que ha sido rechazado por numerosos matemáticos (Gauss, o, en la época de Cantor, Kronecker, etc).^[6] Para ellos, el hecho de considerar una infinidad de objetos como un todo, es decir, el concepto de conjunto infinito, no tiene sentido, sino que el infinito sólo puede surgir del proceso de enumeración sin repetición que nunca se detiene. Sólo el infinito numerable puede tener en rigor algún sentido.

Notas y referencias

1. ↑ Thomas Jech, Set Theory, Stanford Encyclopedia of Philosophia, [1]
2. ↑ Formalmente, para que estas dos expresiones sean equivalentes, hace falta demostrar que todo subconjunto de $\mathbb{N}$ es finito o numerable.
3. ↑ y en 1873 en su correspondencia con Dedekind.
4. ↑ Cantor (1874) Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal de Crelle 77, p258-262 (ver el centro de numeración de Göttingen [2]). Disponemos del origen de esta demostración, que todavía no es la demostración más conocida que utiliza el argumento diagonal, gracias a las cartas del 7 y 9 de diciembre de 1873 de Georg Cantor a Richard Dedekind.
5. ↑ Demostración de Dedekind, según su correspondencia.
6. ↑ Véase por ejemplo Kneale and Kneale, The development of Logic Clarendon Press 1962, p 673.