Conmutador de dos operadores


Conmutador de dos operadores

Se define el conmutador de dos operadores lineales \hat{A} y \hat{B}, definidos sobre un mismo domino denso de cierto espacio de Hilbert, como un nuevo operador definido por la diferencia del producto de operadores:

[\hat{A},\hat{B}] = \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}

Los conmutadores tienen gran importancia en la definición de las álgebras de Lie y la mecánica cuántica, así como en el formalismo más actual de la geometría diferencial, ya que son la imagen algebraica de las transformaciones infinitesimales multiparamétricas en una variedad diferenciable. La clave de esto es que son operadores que satisfacen una misma relación algebraica que las derivadas, que es una relación a tres variables conocida como identidad de Jacobi.

Propiedades

  • Cuando los operadores actúan sobre un espacio de dimensión finita entonces la traza del conmutador de dos operadores es un operador con traza nula.
  • Si el conmutador de dos operadores autoadjuntos es nulo entonces existe una base de Hilbert formada por vectores propios de ambos operadores. Esta propiedad resulta de fundamental importancia en mecánica cuántica a la hora de construir un conjunto completo de observables compatibles (CCOC).

Identidades

En teoría de grupos [x,y] := x^{-1}y^{-1}xy. \, Las identidades de los conmutadores son herramientas muy importantes en el estudio de la teoría de grupo, (McKay, 2000, p. 4). La expresión a^x\, denota x^{-1}ax.\,.

  1. x^y = x[x,y].\,
  2. [y,x] = [x,y]^{-1}.\,
  3. [x y, z] = [x, z]^y\cdot [y, z] y [x, y z] = [x, z]\cdot [x, y]^z.
  4. [x, y^{-1}] = [y, x]^{y^{-1}} y [x^{-1}, y] = [y, x]^{x^{-1}}.
  5. [[x, y^{-1}], z]^y\cdot[[y, z^{-1}], x]^z\cdot[[z, x^{-1}], y]^x = 1 y [[x,y],zx][[z,x],yz][[y,z],xy] = 1.

Identidad 5 es también llamada identidad de Hall-Witt. Análogo a la identidad de Jacobi.

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • Conmutador — El término conmutador puede referirse a: Conmutador (dispositivo de red), dispositivo analógico de lógica de interconexión de redes de computadoras; Conmutador, un tipo de dispositivo eléctrico que permite modificar el camino que deben seguir los …   Wikipedia Español

  • Identidad de Jacobi — Este artículo o sección tiene un estilo difícil de entender para lectores que no son expertos en el tema. Si puedes, por favor edítalo y contribuye a hacerlo más accesible para el público general, sin eliminar los detalles técnicos que interesan… …   Wikipedia Español

  • Anticonmutador — Saltar a navegación, búsqueda Se define el anticonmutador de dos operadores lineales y como la combinación: La relación anterior requiere que la intersección de los dominios de ambos operadores sea un conjunto den …   Wikipedia Español

  • London River Services — Muelle de Bankside. Lugar Ubicación Río Támesis, Londres …   Wikipedia Español

  • Phreaking — Saltar a navegación, búsqueda Phreaking es un término acuñado en la subcultura informática para denominar la actividad de aquellos individuos que orientan sus estudios y ocio hacia el aprendizaje y comprensión del funcionamiento de teléfonos de… …   Wikipedia Español

  • Producto tensorial — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, el producto tensorial, denotado por , se puede aplicar en diversos contextos a vectores, matrices, tensores y espacios vectoriales. En cada caso la significación del símbolo es la misma: la operación… …   Wikipedia Español

  • Formulación matemática de la mecánica cuántica — Saltar a navegación, búsqueda La formulación matemática rigurosa de la mecánica cuántica fue desarrollada por Paul Adrien Maurice Dirac y John von Neumann. Dicha formulación canónica se basa en un conjunto de media docena de postulados… …   Wikipedia Español

  • Red de celdas — Saltar a navegación, búsqueda Una Red de celdas es una red formada por celdas de radio (o simplemente celdas) cada una con su propio transmisor, conocidas como estación base. Estas celdas son usadas con el fin de cubrir diferentes áreas para… …   Wikipedia Español

  • Álgebra de Lie — En matemática, un álgebra de Lie es la estructura algebraica que describe un conjunto de transformaciones infinitesimales. Su uso principal reside en el estudio de objetos geométricos tales como grupos de Lie y variedades diferenciables. El… …   Wikipedia Español

  • Mecánica matricial — La Mecánica matricial es una formulación de la mecánica cuántica creada por Werner Heisenberg, Max Born y Pascual Jordan en 1925. La mecánica matricial fue la primera definición completa y correcta de la mecánica cuántica. Extiende el modelo de… …   Wikipedia Español