Consistencia (lógica)

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La consistencia lógica es una propiedad que pueden tener los conjuntos de fórmulas. Intuitivamente, un conjunto de fórmulas es consistente cuando no contiene una contradicción. La consistencia puede ser definida tanto en términos semánticos como en términos sintácticos. En términos semánticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si tiene un modelo. Es decir, si existe al menos una interpretación que haga verdaderas a todas las fórmulas del conjunto. En términos sintácticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si para toda fórmula A, no es posible deducir tanto A como ￢A (la negación de A) a partir del conjunto de fórmulas.^[1]

Por ejemplo, considérese el siguiente conjunto de fórmulas de la lógica proposicional: { p, q, (q→￢p), r }. Utilizando la regla de inferencia del modus ponens entre q y (q→￢p), es posible deducir ￢p. Luego, según la definición sintáctica de consistencia, el conjunto es inconsistente. Para evaluar si el conjunto es consistente según la definición semántica, podemos construir una tabla de verdad:

$\begin{array}{|c|c|c|c|} p & q & (q \to \neg p) & r \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$

Como se ve, en ninguna de las interpretaciones (ninguna de las filas de la tabla) se da que todas las fórmulas son verdaderas. Luego, de acuerdo con la definición semántica, el conjunto es inconsistente.

Un sistema formal es consistente si y sólo si el conjunto de sus teoremas es consistente.^[1]

Por los teoremas de la incompletitud de Gödel sabemos que para sistemas de una cierta complejidad, la consistencia es incompatible con la completitud.

Véase también

• Metalógica
• Principio de no contradicción
• Principio de explosión

Notas y referencias

1. ↑ ^{a b} Hunter, Geoffrey (1971). «Sección 24». Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic. University of California Press.