Constante de Cahen

En matemáticas, la constante de Cahen se define como una serie infinita de fracciones unitarias, con signos alternos, derivadas de la sucesión de Sylvester:

$C = \sum\frac{(-1)^i}{s_i-1}=\frac11 - \frac12 + \frac16 - \frac1{42} + \frac1{1806} - \cdots\approx 0,64341054629$

Si se agrupan estas fracciones en pares, se puede considerar la constante de Cahen como una serie de fracciones unitarias positivas formadas a partir de los términos en los lugares pares de la sucesión de Sylvester. Esta serie es un ejemplo de algoritmo voraz para fracciones egipcias:

$C = \sum\frac{1}{s_{2i}}=\frac12+\frac17+\frac1{1807}+\frac1{10650056950807}+\cdots$

Esta constante recibe su nombre por Eugène Cahen (también conocido por la integral de Cahen-Mellin), quien fue el primero en formular e investigar su serie (Cahen 1891).

Se sabe que la constante de Cahen es trascendente (Davison and Shallit 1991), y es uno de los pocos números trascendentes construidos de forma natural cuya expansión en forma de fracción continua se conoce en su totalidad: si se forma la sucesión

1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... (A006279)

definida por la recurrencia

$q_{n+2} = q_n^2 q_{n+1} + q_n$

entonces la expansión en forma de fracción continua de la constante de Cahen es

$[0,1,q_0^2,q_1^2,q_2^2,\ldots]$

(Davison y Shallit 1991).

Referencias

• Cahen, Eugène (1891). «Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues». Nouvelles Annales de Mathématiques 10:  pp. 508–514. 

• Davison, J. Les; Shallit, Jeffrey O. (1991). «Continued fractions for some alternating series». Monatshefte für Mathematik 111:  pp. 119–126. doi:10.1007/BF01332350.