Coordenadas esféricas

Coordenadas esféricas
Spherical coordinate elements.svg

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

Contenido

Convenciones utilizadas

Convención estadounidense

Hablando en términos de coordenadas cartesianas, la convención usada por los matemáticos de Estados Unidos es:

  • r (radio): es la distancia entre el punto P y el origen.
  • ϕ (azimuth o longitud) de 0º a 180º es el ángulo entre el eje X positivo y la línea que une el origen con la proyección del punto P en el plano XY.
  • θ (colatitud o ángulo polar) de 0º a 360º es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origen y el punto P, y

Convención no-estadounidense

Coordenadas esféricas figura.svg

Sin embargo, la mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos intercambian los símbolos θ y φ, siendo:

  • θ la colatitud, de 0º a 180º
  • φ el azimuth, de 0º a 360º

Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son:

 0 \leq r <\infty\qquad 0\leq \theta\leq \pi\qquad 0\leq \varphi< 2\pi

La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de r llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, r; vuelve a aumentar, pero θ pasa a valer π-θ y φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cartesianas

Sobre los conjuntos abiertos:

U = \{(r,\theta,\varphi) | r>0, 0< \theta < \pi, 0\leq \varphi <2\pi\} \qquad \mbox{y} \qquad V = \{(x,y,z) | x^2+y^2+z^2>0 \}

Existe una correspondencia unívoca F:V\to Uentre las coordenadas cartesianas y las esféricas, definidas por las relaciones:

 r = \sqrt{x^2 + y^2+z^2}\qquad
\theta= \begin{cases} \arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z>0 \\ \frac{\pi}{2} & z = 0 \\  \pi+\arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z<0 \end{cases} \qquad \varphi=\begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x>0\mbox{ y } y>0 \mbox{ (1° Q)}\\  2\pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right)&   x>0 \mbox{ y } y<0 \mbox{ (4° Q)}\\ \frac{\pi}{2}\mbox{sgn}(y) & x = 0\\ \pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x<0 \mbox{ (2° y 3° Q)}\end{cases}

Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje z\,, donde x2 + y2 = 0, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto (x,\ y,\ z) tal que x = 0\;.

La función inversa F − 1 entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas:

 x = r\,\sin \theta\,\cos\varphi \qquad y = r\,\sin\,\theta\,\sin\,\varphi\qquad z = r \,\cos\theta

Coordenadas esféricas y ejes cartesianos relacionados.

Relación con las coordenadas cilíndricas

Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones


r = \sqrt{\rho^2+z^2}\qquad \theta=\arctan\left(\frac{\rho}{z}\right)\qquad \varphi=\varphi

y sus inversas


\rho = r\,{\rm sen}\,\theta \qquad \varphi = \varphi\qquad z = 
r \,\cos\theta

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son:

  • Líneas coordenadas r: Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas.
  • Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos)
  • Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).
Lineas coordenadas esfericas.png

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

  • Superficies r=cte.: Esferas con centro en el origen de coordenadas.
  • Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen.
  • Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones


\hat{r}  = {\rm sen}\theta\,\cos\varphi\,\hat{x} + {\rm sen}\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{y} +
\cos\theta \hat{z}

\hat{\theta}  = \cos\theta\,\cos\varphi\,\hat{x} + \cos\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{y} -
{\rm sen}\theta \hat{z}

\hat{\varphi}  = -{\rm sen}\varphi\,\hat{x} + \cos\,\varphi\,\hat{y}

e inversamente


\hat{x}  = {\rm sen}\theta\,\cos\varphi\,\hat{r} + \cos\theta\,\cos\varphi\,\hat{\theta} - {\rm sen}\,\varphi\,\hat{\varphi}

\hat{y}  = {\rm sen}\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{r} + \cos\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{\theta}+\cos\,\varphi\,\hat{\varphi}

\hat{z}  = \cos\theta\,\hat{r}-
{\rm sen}\theta\,\hat{\theta}

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala


h_r = 1 \qquad h_\theta = r \qquad h_\varphi = r\,{\rm sen}\theta

Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es


\vec r = r\,\hat{r}

Nótese que no aparecen término en \hat{\varphi} o \hat{\theta}. La dependencia en estas coordenadas está oculta en el vector \hat{r}.

Diferenciales de línea, superficie y volumen

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por


d\vec r = h_r\,dr\,\hat{r}+h_\theta\,d\theta\,\hat{\theta} +h_\varphi\,d\varphi\,\hat{\varphi}
=dr\,\hat{r}+r\,d\theta\,\hat{\theta}+r\,{\rm sen}\,\theta\,d\varphi\,\hat{\varphi}

Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q3 = cte. el resultado es


d\vec S_{q_3={\rm cte}} = h_1\,h_2\,dq_1\,dq_2\,\hat{q}_3

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son

  • r=cte: d\vec S_{r={\rm cte}} = r^2\,{\rm sen}\theta\,d\theta\,d\varphi\,\hat{r}
  • θ=cte: d\vec S_{\theta={\rm cte}} = r\,{\rm sen}\theta\,dr\,d\varphi\,\hat{\theta}
  • φ=cte: d\vec S_{\varphi={\rm cte}} = r\,dr\,d\theta\,\hat{\varphi}

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que


dV = h_1\,h_2\,h_3\,dq_1\,dq_2\,dq_3

que para coordenadas esféricas da


dV = r^2\,{\rm sen}\,\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi

Operadores diferenciales en coordenadas esféricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son:

  • Gradiente

\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\hat{e}_r
+\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{e}_\theta +
\frac{1}{r\,{\rm sen}\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{e}_\varphi
  • Divergencia

\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r}
+ \frac{1}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial({\rm sen}\,\theta\,F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial(F_\varphi)}{\partial \varphi}
  • Rotacional

\nabla\times \vec F=\frac{1}{r^2{\rm sen}\,\theta}\left|
\begin{matrix}
\hat{r} & r\,\hat{\theta} & r\,{\rm sen}\,\theta\,\hat{\varphi}  \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \varphi}
\\ & & \\
F_r & rF_\theta & r{\rm sen}\,\theta\,F_\varphi
\end{matrix}\right|
  • Laplaciano

\nabla^2\phi = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial\phi}{\partial r}\right)
+ \frac{1}{r^2\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}
\left({\rm sen}\,\theta\frac{\partial\phi}{\partial \theta}\right)
 + \frac{1}{r^2{\rm sen}^2\theta}\frac{\partial^2\phi}{\partial \varphi^2}

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

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