Coordenadas esféricas

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

Convenciones utilizadas

Convención estadounidense

Hablando en términos de coordenadas cartesianas, la convención usada por los matemáticos de Estados Unidos es:

• r (radio): es la distancia entre el punto P y el origen.
• ϕ (azimuth o longitud) de 0º a 180º es el ángulo entre el eje X positivo y la línea que une el origen con la proyección del punto P en el plano XY.
• θ (colatitud o ángulo polar) de 0º a 360º es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origen y el punto P, y

Convención no-estadounidense

Sin embargo, la mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos intercambian los símbolos θ y φ, siendo:

• θ la colatitud, de 0º a 180º
• φ el azimuth, de 0º a 360º

Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son:

$0 \leq r <\infty\qquad 0\leq \theta\leq \pi\qquad 0\leq \varphi< 2\pi$

La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de r llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, r; vuelve a aumentar, pero θ pasa a valer π-θ y φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cartesianas

Sobre los conjuntos abiertos:

$U = \{(r,\theta,\varphi) | r>0, 0< \theta < \pi, 0\leq \varphi <2\pi\} \qquad \mbox{y} \qquad V = \{(x,y,z) | x^2+y^2+z^2>0 \}$

Existe una correspondencia unívoca $F:V\to U$entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, definidas por las relaciones:

$r = \sqrt{x^2 + y^2+z^2}\qquad \theta= \begin{cases} \arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z>0 \\ \frac{\pi}{2} & z = 0 \\ \pi+\arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z<0 \end{cases} \qquad \varphi=\begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x>0\mbox{ y } y>0 \mbox{ (1° Q)}\\ 2\pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right)& x>0 \mbox{ y } y<0 \mbox{ (4° Q)}\\ \frac{\pi}{2}\mbox{sgn}(y) & x = 0\\ \pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x<0 \mbox{ (2° y 3° Q)}\end{cases}$

Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje $z\,$, donde x² + y² = 0, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto $(x,\ y,\ z)$ tal que $x = 0\;$.

La función inversa F ^{− 1} entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas:

$x = r\,\sin \theta\,\cos\varphi \qquad y = r\,\sin\,\theta\,\sin\,\varphi\qquad z = r \,\cos\theta$

Coordenadas esféricas y ejes cartesianos relacionados.

Relación con las coordenadas cilíndricas

Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones

$r = \sqrt{\rho^2+z^2}\qquad \theta=\arctan\left(\frac{\rho}{z}\right)\qquad \varphi=\varphi$

y sus inversas

$\rho = r\,{\rm sen}\,\theta \qquad \varphi = \varphi\qquad z = r \,\cos\theta$

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son:

• Líneas coordenadas r: Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas.
• Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos)
• Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

• Superficies r=cte.: Esferas con centro en el origen de coordenadas.
• Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen.
• Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

$\hat{r} = {\rm sen}\theta\,\cos\varphi\,\hat{x} + {\rm sen}\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{y} + \cos\theta \hat{z}$

$\hat{\theta} = \cos\theta\,\cos\varphi\,\hat{x} + \cos\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{y} - {\rm sen}\theta \hat{z}$

$\hat{\varphi} = -{\rm sen}\varphi\,\hat{x} + \cos\,\varphi\,\hat{y}$

e inversamente

$\hat{x} = {\rm sen}\theta\,\cos\varphi\,\hat{r} + \cos\theta\,\cos\varphi\,\hat{\theta} - {\rm sen}\,\varphi\,\hat{\varphi}$

$\hat{y} = {\rm sen}\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{r} + \cos\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{\theta}+\cos\,\varphi\,\hat{\varphi}$

$\hat{z} = \cos\theta\,\hat{r}- {\rm sen}\theta\,\hat{\theta}$

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

$h_r = 1 \qquad h_\theta = r \qquad h_\varphi = r\,{\rm sen}\theta$

Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

$\vec r = r\,\hat{r}$

Nótese que no aparecen término en $\hat{\varphi}$ o $\hat{\theta}$. La dependencia en estas coordenadas está oculta en el vector $\hat{r}$.

Diferenciales de línea, superficie y volumen

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por

$d\vec r = h_r\,dr\,\hat{r}+h_\theta\,d\theta\,\hat{\theta} +h_\varphi\,d\varphi\,\hat{\varphi} =dr\,\hat{r}+r\,d\theta\,\hat{\theta}+r\,{\rm sen}\,\theta\,d\varphi\,\hat{\varphi}$

Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q₃ = cte. el resultado es

$d\vec S_{q_3={\rm cte}} = h_1\,h_2\,dq_1\,dq_2\,\hat{q}_3$

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son

• r=cte: $d\vec S_{r={\rm cte}} = r^2\,{\rm sen}\theta\,d\theta\,d\varphi\,\hat{r}$
• θ=cte: $d\vec S_{\theta={\rm cte}} = r\,{\rm sen}\theta\,dr\,d\varphi\,\hat{\theta}$
• φ=cte: $d\vec S_{\varphi={\rm cte}} = r\,dr\,d\theta\,\hat{\varphi}$

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

$dV = h_1\,h_2\,h_3\,dq_1\,dq_2\,dq_3$

que para coordenadas esféricas da

$dV = r^2\,{\rm sen}\,\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$

Operadores diferenciales en coordenadas esféricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son:

• Gradiente

$\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\hat{e}_r +\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{e}_\theta + \frac{1}{r\,{\rm sen}\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{e}_\varphi$

• Divergencia

$\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial({\rm sen}\,\theta\,F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial(F_\varphi)}{\partial \varphi}$

• Rotacional

$\nabla\times \vec F=\frac{1}{r^2{\rm sen}\,\theta}\left| \begin{matrix} \hat{r} & r\,\hat{\theta} & r\,{\rm sen}\,\theta\,\hat{\varphi} \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \varphi} \\ & & \\ F_r & rF_\theta & r{\rm sen}\,\theta\,F_\varphi \end{matrix}\right|$

• Laplaciano

$\nabla^2\phi = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial\phi}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \left({\rm sen}\,\theta\frac{\partial\phi}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2{\rm sen}^2\theta}\frac{\partial^2\phi}{\partial \varphi^2}$

Véase también

• Coordenadas geográficas
• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas cilíndricas
• Factores de escala