Coseno

Coseno

Coseno

Trigono b00.svg

En trigonometría el coseno (abreviado cos) de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

 \cos\alpha = \frac{b}{c}

O también como la abscisa correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c = 1).

 \cos\alpha = b \,

En matemáticas el coseno es la función obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes.

También se puede definir mediante exponenciales de la forma:

 {\rm cos\ }x=\frac{e^{ix} + e^{-ix} }{2}

Donde i es la unidad imaginaria.

Contenido

El coseno como serie de Taylor

Su expansión en Serie de Taylor en torno a x=0 es:

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots + \frac{(-1)^n}{(2n)!} \; x^{2n}
\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \; x^{2n}

Representación gráfica

FunTriR010.svg

Coseno de una suma o resta de ángulos

Vectores.PNG

Coseno de la diferencia de dos ángulos

Esta identidad trigonométrica se muestra a partir del producto escalar de dos vectores.

\forall\ \theta,\phi\in\mathbb{R}
  • Utilizando las dos definiciones de producto escalar se obtiene:
\begin{cases}
\vec{v}\cdot\vec{u}=|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi - \theta \right)\\
\vec{v}\cdot\vec{u}=x_vx_u+y_vy_u\\
\end{cases}
  • Por igualación se define que
|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi - \theta\right)=x_vx_u+y_vy_u
  • Las componentes de los vectores se pueden reemplazar como la proyección de su módulo sobre los ejes, es decir
x_v=|\vec{v}|\cos\phi
y_v=|\vec{v}|\sin\phi
  • Reemplazando esta propiedad en ambos vectores nos queda
|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi -\theta\right)=|\vec{v}|\cos\phi|\vec{u}|\cos\theta+|\vec{v}|\sin\phi|\vec{u}|\sin\theta
  • Extrayendo como factor común los módulos de los vectores en el segundo miembro
|\vec{v}||\vec{u}|\cos \left(\phi -\theta\right)=|\vec{v}||\vec{u}|(\cos\phi\cos\theta+\sin\phi\sin\theta)
  • Simplificando nos queda la identidad trigonométrica
\cos\left(\phi-\theta\right)=\cos\phi\cos\theta+\sin\phi\sin\theta

Coseno de la suma de dos ángulos

  • Si hacemos
\cos\left(\phi-(-\theta\right))=\cos\phi\cos(-\theta)+\sin\phi\sin(-\theta)
  • obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale
\cos\left(\phi+\theta\right)=\cos\phi\cos\theta-\sin\phi\sin\theta

Forma resumida

\cos\left(\phi\pm\theta\right)=\cos\phi\cos\theta\mp\sin\phi\sin\theta

Coseno de un ángulo doble

Tenemos que

\cos\left(\phi +\theta\right)=\cos\phi\cos\theta-\sin\phi\sin\theta

Hagamos \phi=\theta\, Entonces

\cos\left(2\phi\right)=\cos^2\phi-\sin^2\phi

Coseno del ángulo medio

Nótese que con un simple manejo algebraico podemos obtener la fórmula del coseno del ángulo medio. Sea \alpha, \phi \in \mathbb{R}

Como \cos\left(2\phi\right)=\cos^2\phi-\sin^2\phi

la podemos escribir como

\cos\left(2\phi\right)=2cos^2\phi-1

Sea \phi=\frac{\alpha}{2}

Entonces obtenemos

\Bigg|\cos\Bigg(\frac{\alpha}{2}\Bigg)\Bigg|=\sqrt{\frac{\cos\alpha+1}{2}}

y analizando los signos de la expresión para cada cuadrante, concluimos que:

\cos\Bigg(\frac{\alpha}{2}\Bigg)=\sqrt{\frac{\cos\alpha+1}{2}}

Transformación de una suma de cosenos en producto

\cos\phi+\cos\theta=2\cos\Bigg(\frac{\phi+\theta}{2}\Bigg)\cos\Bigg(\frac{\phi-\theta}{2}\Bigg)

Demostración

Sabiendo que \forall\ \alpha,\beta,\theta,\phi \in\ \mathbb{R}

Entonces

\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta

Hagamos \theta=\alpha+\beta\, y \phi=\alpha-\beta\,

Entonces, resolviendo el sistema se tiene que

\alpha=\frac{\theta+\phi}{2}

\beta=\frac{\theta-\phi}{2}

Reemplazando se obtiene

\cos\phi+\cos\theta=2\cos\Bigg(\frac{\theta+\phi}{2}\Bigg)\cos\Bigg(\frac{\theta-\phi}{2}\Bigg)

Análogamente se demuestra para

\cos\phi-\cos\theta=-2\sin\Bigg(\frac{\phi+\theta}{2}\Bigg)\sin\Bigg(\frac{\phi-\theta}{2}\Bigg)

Derivada del Coseno

Según la definición de derivada:

f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

lo que es

\cos'x=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x + h)-\cos x}{h}

Entonces, usando las fórmulas anteriormente señaladas, se tiene que

\cos'x=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos x\cdot \cos h-\sin x\cdot\sin h-\cos x}{h}

Factorizando

\cos'x=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos x\cdot\Big(\cos h-1\Big)-\sin x\cdot\sin h}{h}

Separando, sabiendo que todas las funciones son continuas, tenemos

\cos'x=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos x\cdot\Big(\cos h -1\Big)}{h}- \lim_{h\rightarrow0} \frac{\sin x\cdot\sin h}{h}

Sabiendo que \lim_{h\rightarrow0} \frac{\sin h}{h}=1 y que el primer límite queda determinado utilizando las relaciones de suma de senos junto con el límite recién escrito, se obtiene que el primer término queda determinado y da 0, entonces

\cos'x=-\sin x\,

Generalizaciones del coseno

Véase también

Obtenido de "Coseno"

Wikimedia foundation. 2010.

См. также в других словарях:

  • coseno — sustantivo masculino 1. Área: matemáticas Seno del complemento de un ángulo o de un arco: El coseno y la secante dependen de la abscisa del extremo del arco …   Diccionario Salamanca de la Lengua Española

  • coseno — m. Mat. Seno del complemento de un ángulo o de un arco. coseno verso. m. Mat. Seno verso del complemento de un ángulo o de un arco …   Diccionario de la lengua española

  • Coseno — ► sustantivo masculino GEOMETRÍA Seno del complemento de un ángulo o de un arco. * * * coseno m. Geom. Con respecto a un ángulo o al arco correspondiente, relación entre el cateto contiguo y la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo formado …   Enciclopedia Universal

  • coseno — {{#}}{{LM C10701}}{{〓}} {{[}}coseno{{]}} ‹co·se·no› {{《}}▍ s.m.{{》}} {{♂}}En trigonometría,{{♀}} razón entre el cateto contiguo de un ángulo y la hipotenusa: • El coseno no depende de la longitud de los lados del triángulo.{{○}} …   Diccionario de uso del español actual con sinónimos y antónimos

  • coseno — m Relaciуn entre el lado adyacente a un бngulo dado y su hipotenusa …   Diccionario de Construcción y Arquitectur

  • coseno — co·sé·no s.m. 1. TS mat. in una circonferenza unitaria con il centro nell origine di un sistema di coordinate cartesiane, funzione trigonometrica che fa corrispondere al valore di un angolo, individuato dall asse delle ascisse e da un raggio, l… …   Dizionario italiano

  • coseno — {{hw}}{{coseno}}{{/hw}}s. m. In trigonometria, misura con segno della proiezione ortogonale, su un lato dell angolo, d un segmento unitario giacente sull altro lato …   Enciclopedia di italiano

  • coseno — s m (Mat) Con respecto a un ángulo, función trigonométrica definida por la división del cateto adyacente entre la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo formado sobre ese ángulo; con respecto a un arco, esta misma función considerando el… …   Español en México

  • coseno — pl.m. coseni …   Dizionario dei sinonimi e contrari

  • Coseno hiperbólico — Saltar a navegación, búsqueda Gráfica de la función , sobre los reales. El coseno hiperbólico de un número real …   Wikipedia Español


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