Criterio de Eisenstein

Criterio de Eisenstein

Criterio de Eisenstein

En matemática, el criterio de Eisenstein proporciona la condición suficiente para que un polinomio sea irreducible sobre Q (o, de forma equivalente, sobre Z).

Si tenemos el siguiente polinomio con coeficientes enteros

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

y un número primo p tal que

  • p divide a todo ai para in
  • p no divide a an
  • p2 no divide a a0

entonces f(x) es irreducible.

Ejemplos

Considérese g(x) = 3x4 + 15x2 + 10.

Probaremos los siguientes primos p.

  • p = 2
2 no divide a 15, entonces probaremos
  • p = 3
3 no divide a 10, entonces probaremos
  • p = 5
5 divide a 15, el coeficiente de x, y a 10, el término constante. Además, 5 no divide a 3, el primer coeficiente; y 25 = 52 no divide a 10. Concluiremos, por lo tanto, que g(x) es irreducible.

En algunos casos, la elección del primo puede ser poco clara, pero puede llegar a revelarse por un cambio de variable y = x + a. Por ejemplo, consideremos h(x) = x2 + x + 2. Es aparentemente difícil, ya que ningún primo divide a 1, el coeficiente de x. Pero si cambiamos h(x) en h(x + 3) = x2 + 7x + 14 veremos inmediatamente que el primo 7 divide al coeficiente de x y al término constante, y que 49 no divide a 14. Así, con el cambio introducido, logramos que el polinomio satisficiera el criterio de Eisenstein.

Otro caso notable es el del polinomio ciclotómico para un primo p. Esto es

(xp − 1)/(x − 1) = xp − 1 + xp − 2 + ... + x + 1.

Aquí, el polinomio satisface el criterio de Eisenstein, en una nueva variable y, después de establecer x = y + 1. El coeficiente constante será entonces p; los otros coeficientes son divisibles por p por las propiedades de los coeficientes binomiales C(p,k) que son p! dividido por algo que no involucra a p.

Prueba elemental

Considérese f(x) como un polinomio módulo p; esto es, redúzcanse los coeficientes al cuerpo Z/pZ. Entonces será c.xn para una constante c distinta de cero. Dado que dichos polinomios tienen una factorización única, cualquier factorización de f mod p resultará en monomios. Ahora, si f no fuese irreducible como polinomio entero, podríamos escribirlo como g.h, y f mod p como el producto de g mod p y h mod p. Estos últimos deben ser monomios, como acabamos de afirmar, por lo que tendremos que g mod p es d.xk y h mod p es e.xn-k donde c = d.e.

Vemos ahora que las condiciones dadas sobre g mod p y h mod p significan que p2 dividirá a a0, lo que contradice nuestra hipótesis. De hecho a0 será g(0).h(0) y p divide a ambos factores, como hemos dicho más arriba.

Explicación avanzada

Aplicando la teoría del polígono de Newton para el campo de los números p-ádicos, para un polinomio de Eisenstein, se supone que tomaremos la menor envoltura convexa de los puntos

(0,1), (1, v1), (2, v2), ..., (n − 1, vn-1), (n,0),

donde vi es la evaluación p-ádica de ai (es decir, la mayor potencia de p que lo divide). Ahora, los datos que tenemos sobre los vi for 0 < i < n, es decir, que existe por lo menos uno, es lo que necesitamos para concluir que la menor envoltura convexa es exactamente el único segmento de (0,1) a (n,0), con pendiente −1/n.

De la teoría general sabemos que p se ramifica completamente en la extensión de los números p-ádicos generados por una raíz de f. Por esa razón, f es irreducible sobre el campo p-ádico, y a fortiori sobre el campo de los números racionales.

Esta prueba es mucho más complicada que el argumento directo por reducción módulo p. Sin embargo, permite ver, en términos de teoría algebraica de números, la frecuencia con que puede aplicarse el criterio de Eisenstein después de algún cambio de variable; y así limita marcadamente la posible elección de p.

De hecho sólo los primos p que se ramifiquen en la extensión de Q generada por una raíz de f tienen alguna posibilidad de servir. Pueden ser hallados en términos del discriminante de f. Por ejemplo, en el caso de x2 + x + 2 dado más arriba, el discriminante es −7, de modo que 7 es el único primo con posibilidades de satisfacer el criterio. Se torna, mod 7, en

(x − 3)2

— es inevitable la repetición de una raíz, ya que el discriminante es 0 mod 7. Por lo tanto el cambio de variable es algo realmente predecible.

Una vez más, para el polinomio ciclotómico se torna en

(x − 1)p − 1 mod p;

Por métodos de álgebra lineal puede demostrarse que el discriminante es pp − 2 (excepto variación de signo).

La versión inicial de este artículo es una adaptación de en:Eisenstein's criterion de Wikipedia en inglés.

Obtenido de "Criterio de Eisenstein"

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Mira otros diccionarios:

  • Criterio de Eisenstein — En matemáticas, el criterio de Eisenstein proporciona la condición suficiente para que un polinomio sea irreducible sobre Q (o, de forma equivalente, sobre Z). Si tenemos el siguiente polinomio con coeficientes enteros …   Enciclopedia Universal

  • Criterio — Saltar a navegación, búsqueda Wikcionario Wikcionario tiene definiciones para criterio. Un criterio es una condición/regla que permite realizar una elección, lo que implica que sobre un criterio se pueda basar una decisión o un juicio …   Wikipedia Español

  • Ferdinand Eisenstein — Saltar a navegación, búsqueda Ferdinand Gotthold Max Eisenstein (16 de abril de 1823 1 de octubre de 1852) fue un matemático alemán. Como Galois y Abel, Eisenstein murió antes de cumplir 30 años y, como Abel, su muerte se debió a la tuberculosis …   Wikipedia Español

  • Problema de Galois inverso — Problemas no resueltos de la matemática: Todo polinomio con coeficientes racionales lleva asociado un grupo de Galois, pero ¿es cierto que todo grupo finito es grupo de Galois de algún polinomio? En teoría de Galois, el problema de Galois inverso …   Wikipedia Español

  • Lema de Gauss — En la teoría de polinomios, el lema de Gauss, o Criterio de la irreducibilidad de Gauss, afirma que si es un dominio de factorización única (DFU) y es su cuerpo de cocientes (o cuerpo de fracciones), entonces el contenido de dos polinomios dados… …   Wikipedia Español

  • Polinomio irreducible — Saltar a navegación, búsqueda En Teoría de Anillos, un polinomio no constante (y por lo tanto no nulo) p con coeficientes en un dominio íntegro R (es decir, ) es irreducible si no puede factorizarse como producto de polinomios de manera que todos …   Wikipedia Español

  • Raíz de la unidad — Saltar a navegación, búsqueda En matemática, las raíces n ésimas de la unidad, o números de de Moivre, son todos los números complejos que resultan 1 cuando son elevados a una potencia dada n. Se puede demostrar que están localizados en el… …   Wikipedia Español

  • Samuel Beckett — Saltar a navegación, búsqueda Samuel Beckett …   Wikipedia Español

  • Historia del arte — Para la historiografía de la historia del arte, véase Estudio de la historia del arte. La creación …   Wikipedia Español

  • Edad Moderna — Adán y Eva de Alberto Durero. El antropocentrismo humanista simboliza la modernidad en la Filosofía, la …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”