Teorema del sándwich

Teorema del sándwich

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En cálculo, el teorema del sándwich (llamado también teorema de encaje, teorema de intercalación, teorema del enclaustramiento, teorema de compresión,teorema de las funciones mayorante y minorante, criterio del sándwich, teorema del emparedado o squeeze theorem en inglés) es un teorema usado en la determinación del límite de una función. Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendrá el mismo límite en el punto.

El teorema o criterio del sándwich es muy importante en demostraciones de cálculo y análisis matemático. Y es frecuentemente utilizado para encontrar el límite de una función a través de la comparación con otras dos funciones de límite conocido o fácilmente calculable. Fue utilizado por primera vez de forma geométrica por Arquímedes y Eudoxo en sus esfuerzos por calcular π. Aunque la formulación moderna fue obra de Gauss.

Exposición

El teorema del encaje o de intercalación es expuesto formalmente como:

Sea I un entorno del punto a. Y sean f, g y h funciones definidas en I, exceptuando quizás el mismo punto a. Supongamos que para todo x en I diferente de a tenemos: $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ y supongamos también que: $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L.$ Entonces $\lim_{x \to a} f(x) = L$.

• Las funciones g(x) y h(x) son llamadas cotas de f(x), o también funciones minorante y mayorante de f(x) respectivamente.

Indeterminaciones

Uno de los usos más frecuentes del teorema del sándwich es en la resolución de límites indeterminados. En particular, permite afirmar que el límite $\textstyle \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen\,} x}{x} = 1$. Algunas indeterminaciones pueden resolverse despejando dicha expresión de la expresión general y aplicando propiedades del límite con el resto.

Demostración

Se intenta calcular el límite $\textstyle \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}$, que es una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$.

• Se toma la relación $\cos x \, \operatorname{sen\,} x < x < \tan x$ en el intervalo (0,π/2).

• Haciendo algunas operaciones resulta en $\cos x < \frac{x}{\operatorname{sen\,} x} < \frac{1}{\cos x}.$

• $\frac{1}{\cos x} > \frac{\operatorname{sen\,} x}{x} > \cos x$

• Se sabe que $\lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos x} = 1$ y que $\lim_{x\to 0} \cos x = 1$

• Por el teorema de sandwich, $\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = 1$.

Referencias

• Joseph M. Ling (2001) Examples on Limits of Functions: The Squeeze Theorem
• Dr. C. Sean Bohun The Squeeze Theorem

Véase también

• Teorema del sándwich de jamón.

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