Cuadratura del círculo

Cuadratura del círculo

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Para otros usos de círculo, véase Círculo (desambiguación)

No existe un método geométrico que permita la cuadratura del círculo, es decir, relacionar un círculo y un cuadrado de igual área, utilizando sólo regla y compás.

Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático, irresoluble de geometría, consistente en hallar —con sólo regla y compás— un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado.

La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la "cuadratura del círculo" cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.

Cuadratura de superficies rectilíneas

La resolución de casos particulares de cuadratura de figuras curvilíneas, como las de las lúnulas de Hipócrates, llevó a los antiguos a pensar erróneamente que se podría llegar a cuadrar el círculo.

La cuadratura del círculo de Durero.

Los matemáticos de la Grecia clásica pronto se interesaron por cuadrar superficies más o menos irregulares limitadas por rectas (superficies poligonales). Una superfice es cuadrable cuando, a partir de ella, es posible obtener geométricamente un cuadrado que tenga la misma área que aquella. Desde un punto de vista práctico, cuadrar superficies irregulares permitía simplificar el cálculo de sus áreas ya que, mientras podía ser fatigoso calcular el área de una superficie no regular, el cálculo del área de su cuadrado equivalente sería trivial.

Los griegos, influidos por la preeminencia de la geometría en sus matemáticas, buscaron procedimientos puramente geométricos para hallar la cuadratura de las distintas superficies. Esto implicaba limitarse al uso de dos elementos tecnológicos simples como el compás y la regla. Ha de añadirse que, para los griegos, era impropio usar el compás como instrumento para transportar distancias.

Mediante los métodos de cuadratura del rectángulo y del triángulo, así como mediante la descomposición de los polígonos en triángulos, los griegos cuadraban cualquier superficie poligonal. Era posible cuadrar superficies de lados rectilíneos.

Cuadratura del círculo

La posibilidad de cuadrar superficies limitadas por curvas (superficies curvilíneas) y, en especial, la cuadratura del círculo, no habría parecido tan plausible a los griegos de no haber sido por el hecho de que Hipócrates de Quíos demostró que ciertas figuras curvilíneas construidas a propósito por él, llamadas lúnulas, podían cuadrarse. La resolución de la cuadratura de las lúnulas de Hipócrates creó una falsa expectativa entre los matemáticos de la antigüedad, llevándoles a pensar que podría cuadrarse el círculo.

En el siglo XX Chebotariov y Dorodnov probaron que, en general, las lúnulas no pueden cuadrarse excepto los tres tipos de lúnulas propuestos por Hipócrates y dos tipos más aportados por Leonhard Euler en el siglo XVIII. De esta forma quedó de manifiesto que la cuadratura de la lúnula no era otra cosa que una solución excepcional de un problema irresoluble, cosa que confundió a los matemáticos durante siglos creyendo que las lúnulas podrían acercarlos a la cuadratura del círculo.

En 1882, el matemático alemán Ferdinand Lindemann probó que π es un número trascendente, lo que implica que es imposible cuadrar el círculo usando regla y compás, resolviendo completamente el problema. Las pruebas usuales usan álgebra (teoría de Galois por ejemplo) y variable compleja.

Importancia de $\pi \,$

Siendo $\pi r^2 \,$ el área del círculo y $b^2 \,$ el área del cuadrado, donde $r \,$ y $b \,$ son el radio del círculo y el lado del cuadrado respectivamente, se observa que, para el cuadrado de área igual a la del círculo, $b = r \sqrt{{\pi}}$. En otras palabras, el radio del círculo y el lado del cuadrado son proporcionales, siendo $\sqrt{{\pi}}$ el factor de proporción.

Esto implica que, si es posible cuadrar el círculo, se puede obtener $\sqrt{{\pi}}$ con regla y compás, es decir, se podría obtener $\sqrt{{\pi}}$ por medio de operaciones algebraicas. Sin embargo, los números trascendentes son un subconjunto de los números reales que se caracterizan, entre otras cosas, precisamente por no ser obtenibles a partir de tales operaciones. Si $\pi \,$ es un número trascendente, como demostró Lindemann, $\sqrt{{\pi}}$ también lo es. De aquí la imposibilidad de cuadrar el círculo a la manera griega.

Bibliografía

• DUNHAM, William Viaje a través de los genios. Biografías y teoremas de los grandes matemáticos Madrid, 2002. Ediciones Pirámide.

Véase también

• Otras construcciones imposibles con regla y compás:
  • La duplicación del cubo
  • La trisección del ángulo
• Geometría
• Pi

Enlaces externos

• webs.adam.es/rllorens/picuad/picarta01

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