Cuerpo de descomposición

Cuerpo de descomposición

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En álgebra abstracta, se puede considerar el cuerpo de descomposición de un polinomio (o familia de polinomios) o de un cuerpo.

Cuerpo de descomposición de un polinomio

Dado un cuerpo K, y un polinomio no constante $p(x)\in K[x]$ (i.e., con coeficientes en K) de grado n, se define el cuerpo de descomposición de p como un cuerpo E_p que cumple:

• Que el polinomio p(x) descompone completamente en E_p, es decir, que se puede expresar p(x) como

$p(x)=\alpha\prod_{i=1}^n (x - \alpha_i)$, con $\alpha, \alpha_i \in K \mbox{ }\forall i=1..n$

• Que el cuerpo sea minimal con la propiedad anterior.

Es decir, el cuerpo de descomposición es el que resulta de adjuntar a K todas las raíces del polinomio p(x): E_p = K(α₁,α₂,...,α_n).

Cuerpo de descomposición de una familia de polinomios

El cuerpo de descomposición de una familia de polinomios $T\subseteq K[x]$ es, análogamente a lo anteriormente expuesto, el cuerpo minimal en el que descomponen completamente todos los polinomios $p(x)\in T \subseteq K[x]$.

Cuerpo de descomposición de un cuerpo

Dado un cuerpo K, el cuerpo de descomposición de K es el cuerpo de descomposición de la familia de polinomios K[x]; es decir, el cuerpo que contiene todas las raíces de todos los polinomios con coeficientes en K.

En este caso se le llama clausura algebraica de K y se le denota por $\bar K$.

Se cumple que cualquier cuerpo Ω algebraicamente cerrado que contenga a K, también contiene a $\bar K$: $\forall \Omega \mbox{ alg. cerrado, } K \subseteq \Omega \Rightarrow K \subseteq \bar K \subseteq \Omega$

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