Escalar de curvatura de Ricci


Escalar de curvatura de Ricci

Escalar de curvatura de Ricci

En matemáticas, la curvatura escalar de una superficie es la familiar curvatura gaussiana. Para las variedades riemannianas de dimensión más alta (n > 2), es el doble de la suma de todas las curvaturas seccionales a lo largo de todos los 2-planos atravesados por un cierto marco ortonormal. Matemáticamente, la curvatura escalar, que suele designarse con las letras R o S, coincide también la traza total de la curvatura de Ricci así como del tensor de curvatura.

Expresión en componentes

La curvatura escalar de Ricci R puede expresarse fácilmente en términos del tensor métrico gμν(y sus derivadas primeras) que define la geometría de la superficie o variedad riemanniana cuya curvatura escalar pretendemos encontrar, usando el convenio de sumación de Einstein:

R = -g^{\mu\nu}\left[\Gamma_{\mu\nu}^\lambda \Gamma_{\lambda\sigma}^\sigma -
\Gamma_{\mu\sigma}^\lambda \Gamma_{\nu\lambda}^\sigma \right]-\part_\nu\left[g^{\mu\nu} \Gamma^\sigma_{\mu\sigma} -g^{\mu\sigma} \Gamma^\nu_{\mu\sigma} \right]

Donde los símbolos de Christoffel que aparecen en la expresión anterior se calculan a partir de las derivadas primeras de las componentes del tensor métrico:

\Gamma^i_{kl}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l} + \frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m} \right)

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