D'Alambertiano

D'Alambertiano

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El operador D'Alambertiano es la generalización del operador laplaciano a un espacio de Minkowski, o, más en general, a un espacio de dimensión y métrica arbitraria. Se suele representar como $\Box ^2$, o simplemente como $\Box$. Técnicamente el D'Alambertiano de una función escalar es el operador de Laplace-Beltrami asociado a la métrica de dicho espacio, operando sobre dicha función.

Su definición es, por analogía con el operador nabla ordinario de $\mathbb{R} ^3$, el producto escalar del vector de derivadas parciales consigo mismo.

$\Box^2 = g^{\mu\nu} \partial_{\mu} \partial_{\nu}= \partial_{\mu} \partial^{\mu}$

Esta forma manifiestamente covariante implica la invarianza de este operador frente a transformaciones de Lorentz.

En el espacio de Minkowski

La métrica es la métrica plana $\ g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(1,-1,-1,-1)$, y por tanto el D'Alambertiano es

$\Box^2 = \eta ^{\mu\nu} \partial_{\mu} \partial_{\nu} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2$

En un espacio curvo

Se puede hacer que el operador D'Alambertiano sea también invariante frente a una transformación general de coordenadas si se define en relación a la derivada covariante:

$\Box^2 = g ^{\mu\nu} \nabla_{\mu} \nabla_{\nu} = \nabla_{\mu} \nabla^{\mu}$

Ejemplos

Un ejemplo de utilización del D'Alambertiano sería la ecuación de Klein-Gordon, que describe campos escalares de spin cero: $(\square +m^{2})\phi =0$

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