Cero

Para otros usos de este término, véase Cero (desambiguación).

0
Cardinal	Cero
Sistemas de numeración
Ática	O
Jónica	Ο (ómicron)
China	〇
China tradicional	零
Egipcia
Maya
De los Campos de Urnas	un espacio
India	0
Sistema binario	0
Sistema octal	0
Sistema hexadecimal	0
menos uno 0 uno

El cero (0) es el signo numérico de valor nulo, que en notación posicional ocupa los lugares donde no hay una cifra significativa. Si está situado a la derecha de un número entero, decuplica su valor; colocado a la izquierda, no lo modifica.

Es el elemento del conjunto de los números enteros ($\mathbb{Z}$) que sigue al −1 y precede al 1. Algunos matemáticos lo consideran perteneciente al conjunto de los naturales ($\mathbb{N}$) ya que estos también se pueden definir como el conjunto que nos permite contar el número de elementos que contienen los demás conjuntos, y el conjunto vacío tiene cero elementos. El número cero se puede representar como cualquier número más su opuesto (o, equivalentemente, menos él mismo): X + ( − X) = 0.

Historia

Los ceros «imperfectos»

Varias antiguas grandes civilizaciones, como las del Antiguo Egipto, Babilonia, la Antigua Grecia poseen documentos de carácter matemático o astronómico mostrando símbolos indicativos del valor cero; pero por diversas peculiaridades de sus sistemas numéricos, no supieron obtener el verdadero beneficio de este capital descubrimiento.^[1]

En el Antiguo Egipto se utilizó el signo nfr para indicar el cero (Papiro Boulaq 18, datado ca. 1700 a. C.)

El cero apareció por primera vez en Babilonia en el siglo III  a. C., aunque su escritura en tablillas de arcilla se remonta al año 2000 a. C. Los babilonios escribían en arcilla sin cocer, sobre superficies planas o tablillas. Su notación era cuneiforme. En tablillas datadas en el año 1700 a. C. se ven anotaciones numéricas en su particular forma. Los babilonios utilizaban un sistema de base 60. Con su sistema de notación no era posible distinguir el número 23 del 203 o el 2003, aunque esta ambigüedad no pareció preocuparles.

Alrededor del 400 a. C., los babilonios comenzaron a colocar el signo de «dos cuñas» en los lugares donde en nuestro sistema escribiríamos un cero, que se leía «varios». Las dos cuñas no fueron la única forma de mostrar las posiciones del cero; en una tablilla encontrada en Kish, antigua ciudad de Mesopotamia al este de Babilonia, utilizaron un signo de «tres ganchos». Estas tablas están datadas en el 700 a. C. En otras tablillas usaron un solo «gancho» y, en algunos casos, la deformación de este se asemeja a la forma del cero.

Jeroglífico maya para el cero, año 36 a. C. Es el primer uso documentado del cero utilizando notación posicional.

El cero también surgió en Mesoamérica y fue ideado por las civilizaciones mesoamericanas antes de la era cristiana, por la Civilización Maya y, probablemente, fue utilizado antes por la Civilización Olmeca. El primer uso documentado mostrando el número cero corresponde al año 36 a. C., haciendo uso de la numeración Maya.^[2] A causa de la anomalía introducida en el tercer lugar de su notación posicional, les privó de posibilidades operativas.^[3]

Claudio Ptolomeo en el Almagesto, escrito en 130 d. C., usaba el valor de «vacío» o «0». Ptolomeo solía utilizar el símbolo entre dígitos o al final del número. Podríamos pensar que el cero habría arraigado entonces, pero lo cierto es que Ptolomeo no usaba el símbolo como número sino que lo consideraba un signo de anotación. Este uso no se difundió, pues muy pocos se sumaron a él, y fue desvaneciéndose en la Historia.

Los romanos no utilizaron el cero. Sus números eran letras de su alfabeto; para representar cifras usaban: I, V, X, L, C, D, M, agrupándolas. Para números con valores iguales o superiores a 4000, dibujaban una línea horizontal sobre el «número», para indicar que el valor se multiplicaba por 1000.

El cero «moderno»

La Civilización india es la cuna de la numeración moderna. La palabra «cero» proviene de la traducción de su nombre en sánscrito shunya (vacío) al árabe sifr (صفر), a través del italiano. La voz española «cifra» también tiene su origen en sifr.

El primer testimonio del uso del «cero indio» está datado hacia el año 810. Abu Ja'far Mujammad ibn Musa, en su obra titulada «Tratado de la adición y la sustracción mediante el cálculo de los indios» explica el principio de numeración posicional decimal, señalando el origen indio de las cifras. La décima figura, que tiene forma redondeada, es el «cero».^[4]

Las inscripciones talladas en roca más antiguas de dichos números indios son las de Gwalior, y están datados en 875-876.^[5]

Los árabes lo transmitieron por el Magreb y Al-Ándalus, pasando posteriormente al resto de Europa. Los primeros manuscritos que muestran las cifras indias (llamadas entonces «árabes») provienen del norte de España y son del siglo X: el Codex Vigilanus y el Codex Aemilianensis. El cero no figura en los textos, pues los cálculos se realizaban con ábaco, y su uso aparentemente no era necesario.

Aunque se atribuyen los primeros usos del cero en Francia, o al controvertido papa Silvestre II, alrededor del año 1000, la mayor parte de las referencias indican que el cero (llamado zefhirum) fue introducido en Europa por el matemático italiano Fibonacci en el siglo XII, mostrando el álgebra árabe en su Liber abaci (Tratado del ábaco), aunque por la facilidad del nuevo sistema, las autoridades eclesiásticas lo tildaron de mágico o demoniaco.^[6]

La iglesia y la casta de los calculadores profesionales —clérigos en su mayoría, que utilizaban el ábaco— se opusieron frontalmente, vetando la nueva álgebra, en algunos lugares hasta el siglo XV.^[7]

El cero indio

El cero es un número antiintuitivo. Antes de los indios, otros pueblos llegaron a una idea de "cero imperfecto" ya que ¿para qué numerar el vacío o la nada?"; cuando algo faltaba bastaba dejar un espacio vacío, representando una ausencia, pero no se consideraba que se pudieran hacer cálculos u operar matemáticamente con tales representaciones de "nada" o de "vacío" (¿no es 1+0=1 y 1-0=1?). En la India sin embargo la "nada" permitió dejar un "espacio" para realizar operaciones matemáticas complejas con números enormes; quizás la noción del cero como número surgió de los cálculos con piedras sobre la arena, por ejemplo al producirse una resta el "cálculo" (nombre que se le daba a la piedra de contabilidad) quitado al dejar un hueco o huella en la arena dio la noción de un número cero en cuanto algo dejaba como resto una "nada".

La cosmovisión india fue capital para que el cero cobrara un valor numérico, ya que antes habría sido un signo de la nada y por esto de una falta de número. Sin embargo, para los pensadores de la India la shunya (el vacío) en lugar de ser una nada pasiva resultaba ser una nada esencial o "activa" como premisa para la existencia, en muchas escuelas hinduístas y budistas shunya "es", por paradójico que resulte, algo básico y muy concreto en la existencia: no se puede concebir el ser sin su negación. Es más, para muchas escuelas hinduistas y budistas shunya es lo real primero y último, la esencia ante la existencia. La nada entendida de este modo tiene una especie de entidad y el cero es su símbolo, y de tales abstracciones, en principio metafísicas, el cero pasó a tener un inmenso valor pragmático. Además, los filósofos de la India solían concebir a los números no solo como signos de cosas concretas, sino también de abstracciones, lo que les permitió aceptar la noción de un signo numérico para algo que podía ser nada. Si para las operaciones más elementales como la suma o la resta el cero no poseía valor: 1+0=1; 1-0=1, llamó la atención que en la multiplicación el cero tuviera un efecto operativo al transformar en cero a cualquier número que se multiplicara por 0.

Operaciones matemáticas con el cero

El cero se representa en matemáticas con el símbolo «0». Desde el siglo XX, y especialmente con el desarrollo de la informática es frecuente que el 0 aparezca barrado, es decir, con una raya que lo cruza para evitar confundirlo con la letra «o»; por contrapartida, cuando la letra «o» se escribe en un texto matemático es pertinente acentuarla: «ó», para evitar confundirla con el signo del número 0. En el conjunto de los enteros $\mathbb{Z}$ el 0 es un número par.^[8] Tradicionalmente está considerado uno de los cinco números más importantes de las matemáticas, junto con los números 1, π, i, e.^[9] Estos números quedan relacionados por la llamada identidad de Euler,

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

Cero en la suma

En la suma, el cero es el elemento neutro; es decir, cualquier número a sumado con 0 vuelve a dar a. Ejemplo: 25 + 0 = 25

Cero en la multiplicación

En el producto, el cero es el elemento «absorbente»; cualquier número operado con 0 da 0. Ejemplo: $25 \times 0 = 0$

Cero en la división

Entre las controversias que existen sobre el cero, una de ellas es sobre la posibilidad de dividir por él; hasta llega a dudarse sobre si el cero puede dividir a otro número. Acrecienta la confusión cuando se analiza la división por cero en el contexto de los límites y en el contexto de los números enteros. El problema es que se utiliza la mismas palabra, división, para referirse a distintas cosas (aunque en el fondo tengan el mismo origen). Es así como son ciertas las afirmaciones: «0:0 no está definido» , «0/0 es indeterminado» y «0|0» («cero divide a cero»), pero cada una en su contexto. A continuación exponemos brevemente estos ejemplos.

División por cero en los números reales

Artículo principal: División por cero

En los números reales (incluso en los complejos) la división por cero es una indeterminación; así, las expresiones 8:0 o 0:0 carecen de sentido.

Intuitivamente significa que no tiene sentido «repartir» 8 entre ninguna persona. Tampoco tiene sentido repartir nada entre nadie. Pero esto es una idea intuitiva, y basta el sentido común para dar respuesta a estas cuestiones.

Matemáticamente está claro que el cero es el único número real por el cual no se puede dividir. La razón es que 0 es el único real que no tiene inverso multiplicativo.

Ejemplo:

$\frac{x}{2}=x\cdot \frac{1}{2}$ (correcto).

$\frac{x}{0}=x\cdot \frac{1}{0}$ (incorrecto porque $\frac{1}{0}$ no es un número real).

Cero en la división de límites

En el análisis matemático existen definiciones de distintos tipos de límites. Por ejemplo:

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=0$,

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=1$,

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\infty$.

Sin embargo, si analizamos cada numerador y denominador por separado, el límite de todo ellos es cero. Es por eso que se dice que 0 / 0 es indeterminado, pues pueden obtenerse resultados tan diferentes como infinito, uno o cero.

Cero en la división de números enteros

Si nos restringimos a los números enteros, $\mathbb{Z}$, decimos que a divide a b si existe otro número c (también entero) tal que $a \times c=b$.

Por ejemplo: 3 es divisor de 15 pues $3 \times 5 = 15$.

Vemos que la definición no requiere saber dividir, sólo saber multiplicar, y esto es muy conveniente pues entre los números enteros la división no siempre tiene sentido; por ejemplo, 2 dividido entre 3 no tiene ninguna solución en el conjunto de los números enteros.

Así, 3 no divide a 10 porque no existe ningún número entero c tal que 3c = 10.

Análogamente, 0 no divide a 10 porque al multiplicar cero por cualquier otro número nunca obtendremos 10.

Análogamente, tenemos que 0 es divisor de 0, pues 0 * 0 = 0. Aún más:

todo número entero a es divisor de cero pues $a \times 0=0$

También vemos que cero es divisor sólo del propio cero. Este hecho no se contradice con el hecho de que 0:0 no está permitido pues véase que en el caso 0:0, el signo de división significa una operación. En cambio, en la división entera no hay ninguna operación involucrada y todo se basa en la definición dada anteriormente.

Cero en la potenciación

Véase también: Potenciación

• Si a es distinto de 0, entonces a⁰ = 1
• Si n es mayor de 0, entonces 0ⁿ = 0

Cuando se pretende calcular 0⁰ nos enfrentamos ante un aparente dilema. En general, los matemáticos están de acuerdo en que esa operación no está definida, a menos que en un contexto dado sea claramente conveniente elegir un resultado u otro. Algunas calculadoras científicas dan 1 como resultado.

Como en el caso de la división, al poner esta operación en el contexto de los límites, 0⁰ es una indeterminación pues los límites de potencias tales que los límites de base y exponente por separado son cero, pueden terminar dando cualquier cosa.

En lógica formal se puede probar que 0⁰ = 1, esto se hace observando que existe una única función de vacío en el vacío, la cual es la función vacía.^{[cita requerida]}

Paridad y otras características

Artículo principal: Números pares e impares

Todos los números enteros pueden ser clasificados en pares e impares, definiendo los números de la forma 2n como pares y los de la forma 2n − 1 como impares, con $n \in \mathbb{Z}$. Como $0 \in \mathbb{Z}$ entonces podemos tomar n = 0 con lo que 2n = 2(0) = 0 resulta par.

El cero no se incluía en el conjunto de los números naturales $\mathbb {N}$, por convenio. Y se representaba como $\mathbb{N}_0$, al conjunto de los números naturales cuando incluye al cero, por ello nos podemos encontrar con muchos libros donde los autores no consideran al cero como número natural. De hecho, aún no hay consenso al respecto aunque muchos otros lo incluyan. Es apenas una cuestión de nomenclatura.

A algunos matemáticos les resulta conveniente tratarlo como a los otros números naturales y a otros no, por eso la discrepancia. Desde un punto de vista histórico el cero aparece tan tarde que algunos no creen que sea justo llamarlo natural. Incluso hay quienes afirman desde un punto de vista metafísico que el cero no existe, y así agregan más razones para no llamarlo «natural».

Matemática avanzada

En otra ramas de la matemática, especialmente en el álgebra, se llama «cero» y se simboliza también con «0» a elementos de otros conjuntos muy diferentes de los reales. Es el caso del vector nulo en el conjunto de los vectores del plano o del espacio. En general se le dice cero al elemento neutro de un grupo abeliano.

Sistemas digitales

El 0 se asocia con la posición de "apagado" en lógica positiva y es uno de los dos dígitos del sistema binario.

Cero absoluto

Artículo principal: Cero absoluto

El cero absoluto es, en el campo de la física, la temperatura más baja que teóricamente puede alcanzar la materia. Esta temperatura da lugar a la escala Kelvin, que establece como 0 K dicha temperatura. Su equivalencia en grados celsius es de –273,15 °C.

Véase también

• Wuji
• Nada
• Sistema de numeración decimal
• Bhaskara II
• Noción primitiva

Números Complejos $\mathbb{C}$ Reales $\mathbb{R}$ Racionales $\mathbb{Q}$ Enteros $\mathbb{Z}$ Naturales $\mathbb{N}$ Uno Primos Compuestos Cero Negativos Fraccionarios Fracción propia Fracción impropia Irracionales Algebraicos irracionales Trascendentes Imaginarios

Referencias

Notas

1. ↑ Ifrah:1998 p. 785.
2. ↑ Escritura maya, Los mayas, Bitágora
3. ↑ Ifrah:1998 p. 786.
4. ↑ Ifrah:1998 p. 828.
5. ↑ Ifrah:1998 p. 909.
6. ↑ Ifrah:1998 pp. 1357-1358.
7. ↑ Ifrah:1998 p. 1360.
8. ↑ «Even Number» (en inglés). Wolfram MathWorld. Consultado el 15-05-2009.
9. ↑ «About Pi» (en inglés). Math Forum. Consultado el 15-05-2009.

Bibliografía

• Ifrah, Geoges (1998): Historia universal de las cifras. Espasa Calpe S.A. ISBN 84-239-9730-8

Enlaces externos

• Historia del Cero
• Zero en Wolfram MathWorld (en inglés)