Deducción del módulo de la suma

Deducción del módulo de la suma

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Este artículo presenta una deducción para la expresión del módulo resultante de dos vectores (véase Vector (física) y Módulo (vector))

Deducción

Sean dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ que forman un ángulo θ entre sí:

La fórmula para calcular $\left| \vec{a} + \vec{b} \right|$ se deduce observando los triángulos rectángulos que se forman, OCB y ACB, y aplicando el Teorema de Pitágoras. En el triángulo OCB:

OB² = OC² + CB²

$OB = | \vec{a} + \vec{b} |$

$OC = \left| \vec{a} \left| + AC \right. \right.$

Resultando:

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + AC \right)^2 + CB^2$

En el triángulo ACB :

$\frac{AC}{| \vec{b} |} = \cos \theta$

$AC = | \vec{b} | \cos \theta$

$\frac{CB}{| \vec{b} |} = sen \theta$

$CB = | \vec{b} | sen \theta$

Sustituyendo esto en la igualdad de antes resulta:

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + | \vec{b} | \cos \theta \right)^2 + \left( \left| \vec{b} | sen \theta \right)^2 \right.$

$\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \cos^2 \theta + \left| \vec{b} \right|^2 sen^2 \theta$

$\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \left( \cos^2 \theta + sen^2 \theta \right)$

$\left. \cos^2 \theta + sen^2 \theta = 1 \rightarrow \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2$

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2}$

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} |^2 + \left| \vec{b} \right|^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta}$

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