Derivada exterior

Derivada exterior

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En matemáticas, el operador de derivada exterior (o diferencial exterior) de la topología diferencial, amplía el concepto del diferencial de una función a formas diferenciales de un grado más alto. Fue inventado, en su forma actual, por Élie Cartan. La derivada exterior de una forma diferencial de grado k es una forma diferencial de grado k+1. La diferenciación exterior satisface tres propiedades importantes:

• linealidad

• la regla del producto cuña

$d(\omega\wedge\eta) = d\omega\wedge\eta+(-1)^{{\rm deg\,}\omega}(\omega\wedge d\eta)$

• $d^2=0\,$, una fórmula que codifica la igualdad de las derivadas parciales cruzadas, de modo que siempre: $d(d(\omega)) = 0\,$, para cualquier forma ω

Puede ser demostrado que la derivada exterior está determinada unívocamente por estas propiedades y su coincidencia con el diferencial en 0-formas (funciones).

Los casos especiales de la diferenciación exterior corresponden a los operadores diferenciales familiares del cálculo vectorial a lo largo de las mismas líneas que el diferencial corresponde a gradiente. Por ejemplo, en el espacio euclidiano tridimensional, la derivada exterior de una 1-forma corresponde al rotacional y la derivada exterior de 2-formas corresponde a la divergencia. Esta correspondencia muestra más de una docena de fórmulas del cálculo vectorial como casos especiales de las tres reglas antedichas de la diferenciación exterior. El núcleo del operador $d\,$ consiste en las formas cerradas, y la imagen en las formas exactas (cf. diferenciales exactos).

Véase también

• Derivada de Lie

Obtenido de "Derivada exterior"