Desigualdad de Bessel

Desigualdad de Bessel

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En matemáticas, especialmente en análisis funcional, la desigualdad de bessel es una proposición acerca de los coeficientes de un elemento x en un espacio de Hilbert con respecto a una secuencia ortonormal.

Sea H un espacio de hilbert, suponga que e₁,e₂,... es una secuencia ortonormal en H. Entonces, paratodo x en H se tiene que

$\sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2$

donde <·,·> denota el producto interior en el espacio de hilbert H, Si nosotros definimos la suma infinita

$x' = \sum_{k=1}^{\infty}\left\langle x,e_k\right\rangle e_k,$

La desigualdad de bessel nos dice que esta serie matemática converge.

Para una secuencia ortonormal completa (esto es, para una secuencia ortonormal que a la vez en una base ortonormal de H), nosotros tenemos la identidad de Parseval, que remplaza la desigualdad por una igualdad (y consecuentemente x' con x).

En Álgebra lineal la Desigualdad de Bessel estipula que dado un espacio vectorial V con producto interior definido, dada β = {β₁,β₂,...,β_n} una subconjunto ortonormal de V. Se cumple que para todo x en V:

$\lVert x \lVert ^{2}\geq\sum_{n=1}^{n} \|\langle x,\beta_{i}\rangle \|^{2}$

Obtenido de "Desigualdad de Bessel"